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आव्यूह — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question

Rajasthan Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितआव्यूह1 Mark
Question
मान लीजिए कि A = $ \left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$, B = $ \left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{array}\right]$, C = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{array}\right] $ है। एक ऐसा आव्यूह D ज्ञात कीजिए कि CD - AB = O हो।
✓

Answer

क्योंकि A, B, C सभी कोटि 2, के वर्ग आव्यूह हैं और CD - AB भली-भाँति परिभाषित है, इसलिए D कोटि 2 का एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए।
मान लीजिए कि D = $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ है। तब CD - AB = O से प्राप्त होता है कि
$\left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{array}\right]$ = O
या $\left[\begin{array}{ll} 2 a+5 c & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c & 3 b+8 d \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 43 & 22 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] $
या  $\left[\begin{array}{lc} 2 a+5 c-3 & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c-43 & 3 b+8 d-22 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$
आव्यूहों की समानता से हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
2a + 5c - 3 = 0 ...(1)
3a+ 8c - 43 = 0 ...(2)
2b + 5d = 0 ...(3)
तथा 3b + 8d - 22 = 0 ...(4)
(1) तथा (2), को सरल करने पर a = - 191, c = 77 प्राप्त होता है।
(3) तथा (4), को सरल करने पर b = - 110, d = 44 प्राप्त होता है।
अतः D = $\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc} -191 & -110 \\ 77 & 44 \end{array}\right] $

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