रेखा $y = mx + 1,$ वक्र $y^{2 }= 4x$ की एक स्पर्श रेखा है यदि $m$ का मान है:
Miscellaneous Exercise-21
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वक्र पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + 1$ है।
$\therefore$ दी गई रेखा $y$ की प्रवणता $m$ है।
दिया गया वक्र है, $y^{2 }= 4x$
अवकलन करने पर,
$2 y \frac{d y}{d x} = 4 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y}$
यदि रेखा $y = mx + 1$ वक्र पर स्पर्श रेखा है, तब $\frac{2}{y} = m$
$\Rightarrow y = \frac{2}{m}$
समी $(i)$ में $y$ का मान रखने पर, $x = \frac{y^{2}}{4} = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{m}\right)^{2} = \frac{1}{m^{2}}$
$\therefore$ वह बिंदु जिस पर दी गई रेखा स्पर्श करती है $\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{2}{m}\right)$
यह बिंदु रेखा $y = mx + 1$ को अवश्य संतुष्ट करेगा।
$\therefore \frac{2}{m} = m \left(\frac{1}{m^{2}}\right) + 1 \Rightarrow \frac{1}{m} = 1 \Rightarrow m = 1$
$\therefore$ दी गई रेखा $y$ की प्रवणता $m$ है।
दिया गया वक्र है, $y^{2 }= 4x$
अवकलन करने पर,
$2 y \frac{d y}{d x} = 4 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y}$
यदि रेखा $y = mx + 1$ वक्र पर स्पर्श रेखा है, तब $\frac{2}{y} = m$
$\Rightarrow y = \frac{2}{m}$
समी $(i)$ में $y$ का मान रखने पर, $x = \frac{y^{2}}{4} = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{m}\right)^{2} = \frac{1}{m^{2}}$
$\therefore$ वह बिंदु जिस पर दी गई रेखा स्पर्श करती है $\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{2}{m}\right)$
यह बिंदु रेखा $y = mx + 1$ को अवश्य संतुष्ट करेगा।
$\therefore \frac{2}{m} = m \left(\frac{1}{m^{2}}\right) + 1 \Rightarrow \frac{1}{m} = 1 \Rightarrow m = 1$
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