$x$ के सभी वास्तविक मान लीजिऐें के लिए $ \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$ का न्यूनतम मान है
Exercise-6.5-28
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मान लीजिए $y = \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = \frac{\left(1+x+x^{2}\right)(-1+2 x)-\left(1-x+x^{2}\right)(1+2 x)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}}$
$= \frac{-1+2 x-x+2 x^{2}-x^{2}+2 x^{3}-1-2 x+x+2 x^{2}-x^{2}-2 x^{3}}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}}$
$= \frac{-2+2 x^{2}-2 x^{2}+2 x^{2}}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}} = \frac{2 x^{2}-2}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}} = \frac{2\left(x^{2}-1\right)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}}$
अब $\frac{d y}{d x} = 0$ रखने पर $\Rightarrow x^2 = 1$
$\Rightarrow x = \pm 1$
अब, $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2\left[\left(1+x+x^{2}\right)^{2}(2 x)-\left(x^{2}-1\right)(2)\left(1+x+x^{2}\right)(1+2 x)\right]}{\left(1+x+x^{2}\right)^{4}}$
$= \frac{4\left(1+x+x^{2}\right)\left[\left(1+x+x^{2}\right) x-\left(x^{2}-1\right)(1+2 x)\right]}{\left(1+x+x^{2}\right)^{4}}$
$= \frac{4\left(x+x^{2}+x^{3}-x^{2}-2 x^{3}+1+2 x\right)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{3}} $
$= \frac{4\left(1+3 x-x^{3}\right)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{3}}$
$x = 1$ पर, $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=1} $
$= \frac{4\left[1+3(1)-1^{3}\right]}{\left(1+1+1^{2}\right)^{3}} $
$= \frac{4(3)}{3^{3}} = \frac{4}{9} > 0$
$x = - 1$ पर, $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=-1} $
$= \frac{4\left[1+3(-1)-(-1)^{3}\right]}{\left[1+(-1)+(-1)^{2}\right]^{3}} $
$= \frac{4(1-3+1)}{(1-1+1)^{3}} = 4( - 1) = - 4 < 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 1$ पर $f$ न्यूनतम होगा और न्यूनतम मान
$y = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = \frac{\left(1+x+x^{2}\right)(-1+2 x)-\left(1-x+x^{2}\right)(1+2 x)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}}$
$= \frac{-1+2 x-x+2 x^{2}-x^{2}+2 x^{3}-1-2 x+x+2 x^{2}-x^{2}-2 x^{3}}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}}$
$= \frac{-2+2 x^{2}-2 x^{2}+2 x^{2}}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}} = \frac{2 x^{2}-2}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}} = \frac{2\left(x^{2}-1\right)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{2}}$
अब $\frac{d y}{d x} = 0$ रखने पर $\Rightarrow x^2 = 1$
$\Rightarrow x = \pm 1$
अब, $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2\left[\left(1+x+x^{2}\right)^{2}(2 x)-\left(x^{2}-1\right)(2)\left(1+x+x^{2}\right)(1+2 x)\right]}{\left(1+x+x^{2}\right)^{4}}$
$= \frac{4\left(1+x+x^{2}\right)\left[\left(1+x+x^{2}\right) x-\left(x^{2}-1\right)(1+2 x)\right]}{\left(1+x+x^{2}\right)^{4}}$
$= \frac{4\left(x+x^{2}+x^{3}-x^{2}-2 x^{3}+1+2 x\right)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{3}} $
$= \frac{4\left(1+3 x-x^{3}\right)}{\left(1+x+x^{2}\right)^{3}}$
$x = 1$ पर, $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=1} $
$= \frac{4\left[1+3(1)-1^{3}\right]}{\left(1+1+1^{2}\right)^{3}} $
$= \frac{4(3)}{3^{3}} = \frac{4}{9} > 0$
$x = - 1$ पर, $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=-1} $
$= \frac{4\left[1+3(-1)-(-1)^{3}\right]}{\left[1+(-1)+(-1)^{2}\right]^{3}} $
$= \frac{4(1-3+1)}{(1-1+1)^{3}} = 4( - 1) = - 4 < 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 1$ पर $f$ न्यूनतम होगा और न्यूनतम मान
$y = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$
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