$[x(x-1)+1]^{1 / 3}, 0 \leq x \leq 1$ का उच्चतम मान है
Exercise-6.5-29
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मान लीजिए कि $f(x) = [x(x - 1) + 1]^{1/3 } \left(x^{2}-x+1\right)^{1 / 3}, 0 \leq x \leq 1 x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{3}\left(x^{2}-x+1\right)^{\frac{1}{3}-1} (2x - 1) = \frac{1(2 x-1)}{3\left(x^{2}-x+1\right)^{2 / 3}}$
अब, $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 2x - 1 = 0$
$\Rightarrow x = \frac{1}{2} \in [0, 1]$
इसलिए, $x = \frac{1}{2}$ क्रांतिक बिंदु है।
अब, बिंदु $x = \frac{1}{2}$ और अंतराल $[0, 1]$ के अंत बिंदुओं पर $f$ का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 0$ पर, $f(0) = (0 - 0 + 1)^{1/3} = 1$
$x = 1$ पर, $f(1) = (1 - 1 + 1)^{1/3 }= 1$
$x = \frac{1}{2}$ पर, $f \left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1\right)^{1 / 3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{1 / 5}$
$\therefore f(x)$ का उच्चतम मान $1, x = 0,1$ पर है
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{3}\left(x^{2}-x+1\right)^{\frac{1}{3}-1} (2x - 1) = \frac{1(2 x-1)}{3\left(x^{2}-x+1\right)^{2 / 3}}$
अब, $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 2x - 1 = 0$
$\Rightarrow x = \frac{1}{2} \in [0, 1]$
इसलिए, $x = \frac{1}{2}$ क्रांतिक बिंदु है।
अब, बिंदु $x = \frac{1}{2}$ और अंतराल $[0, 1]$ के अंत बिंदुओं पर $f$ का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 0$ पर, $f(0) = (0 - 0 + 1)^{1/3} = 1$
$x = 1$ पर, $f(1) = (1 - 1 + 1)^{1/3 }= 1$
$x = \frac{1}{2}$ पर, $f \left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1\right)^{1 / 3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{1 / 5}$
$\therefore f(x)$ का उच्चतम मान $1, x = 0,1$ पर है
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