वक्र $x^2 = 4y$ का बिंदु $(1, 2)$ से हो कर जाने वाला अभिलंब है:
Miscellaneous Exercise-23
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दिया गया वक्र है, $x^{2 }= 4y ...(i)$
मान लीजिए $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ वक्र $(i)$ पर बिंदु है जिस पर अभिलंब $(1, 2)$ से होकर गुजरता है।
$\therefore x_{1}^{2} = 4 y_{1} ...(ii)$
समी $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x = 4 \frac{d y}{d x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{4} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2}$
$ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{1}, y_{1}\right)} = \frac{x_{1}}{2}$
अब, बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण
$\therefore y - y_1 = -\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{1}, y_{1}\right)}}\left(x-x_{1}\right) \Rightarrow y - y_1 = -\frac{2}{x_{1}}\left(x-x_{1}\right) ...(iii)$
लेकिन यह अभिलंब $(1, 2)$ से होकर गुजरता है।
$2 - y_1 = -\frac{2}{x_1}(1 - x_1) \Rightarrow 2 - y_1 = -\frac{2}{x_1} + 2$
$\Rightarrow y_1 = \frac{2}{x_1} ...(iv)$
समी $(ii)$ और $(iv)$ से, $x_{1}^{2}=4 \times \frac{2}{x_{1}}$
$ \Rightarrow x_1^3 = 8 \Rightarrow x_1 = 2$
समी $(ii)$ से, $y_1 = \frac{x_{1}^{2}}{4}=\frac{2^{2}}{4} = 1$
वक्र $(i)$ पर अभिलंब $(1, 2)$ से होकर गुजरता है। $x_1 = 2$ और $y_1 = 1$ रखने पर, समी $(iii)$ से हमें निम्न आवश्यक अभिलंब प्राप्त होता है।
$y - 1 = -\frac{2}{2}(x - 2)$
$\Rightarrow y - 1 = -x + 2$
$\Rightarrow x + y - 3 = 0$
मान लीजिए $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ वक्र $(i)$ पर बिंदु है जिस पर अभिलंब $(1, 2)$ से होकर गुजरता है।
$\therefore x_{1}^{2} = 4 y_{1} ...(ii)$
समी $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x = 4 \frac{d y}{d x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{4} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2}$
$ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{1}, y_{1}\right)} = \frac{x_{1}}{2}$
अब, बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण
$\therefore y - y_1 = -\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{1}, y_{1}\right)}}\left(x-x_{1}\right) \Rightarrow y - y_1 = -\frac{2}{x_{1}}\left(x-x_{1}\right) ...(iii)$
लेकिन यह अभिलंब $(1, 2)$ से होकर गुजरता है।
$2 - y_1 = -\frac{2}{x_1}(1 - x_1) \Rightarrow 2 - y_1 = -\frac{2}{x_1} + 2$
$\Rightarrow y_1 = \frac{2}{x_1} ...(iv)$
समी $(ii)$ और $(iv)$ से, $x_{1}^{2}=4 \times \frac{2}{x_{1}}$
$ \Rightarrow x_1^3 = 8 \Rightarrow x_1 = 2$
समी $(ii)$ से, $y_1 = \frac{x_{1}^{2}}{4}=\frac{2^{2}}{4} = 1$
वक्र $(i)$ पर अभिलंब $(1, 2)$ से होकर गुजरता है। $x_1 = 2$ और $y_1 = 1$ रखने पर, समी $(iii)$ से हमें निम्न आवश्यक अभिलंब प्राप्त होता है।
$y - 1 = -\frac{2}{2}(x - 2)$
$\Rightarrow y - 1 = -x + 2$
$\Rightarrow x + y - 3 = 0$
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