सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए:
$\left|\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta) \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta) \end{array}\right| = 0$
Miscellaneous Exercise-15
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माना $A = \left|\begin{array}{lll}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta)\end{array}\right| ,$
$= \left|\begin{array}{rrr} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta-\sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta-\sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta-\sin \gamma \sin \delta \end{array}\right| [\because \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B]$
$= \left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & -\sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & -\sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & -\sin \gamma \sin \delta \end{array}\right|$
प्रथम सारणिक में $C_3$ से $\cos \delta$ तथा द्वितीय सारणिक में $C_3$ से $- sin \delta$ उभयनिष्ठ लेने पर,
$A = cos \delta \left|\begin{array}{lll}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma\end{array}\right| - sin \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma\end{array}\right|$
चँकि प्रथम सारणिक में $0 = cos \delta\cdot0 - sin \delta \cdot0 = 0$
चूँकि प्रथम सारणिक में $C_2$ तथा $C_3$ और द्वितीय सारणिक में $C_1$ तथा $C_3$ समान है, अतः सारणिकों का मान शून्य हैं।
$= \left|\begin{array}{rrr} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta-\sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta-\sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta-\sin \gamma \sin \delta \end{array}\right| [\because \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B]$
$= \left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & -\sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & -\sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & -\sin \gamma \sin \delta \end{array}\right|$
प्रथम सारणिक में $C_3$ से $\cos \delta$ तथा द्वितीय सारणिक में $C_3$ से $- sin \delta$ उभयनिष्ठ लेने पर,
$A = cos \delta \left|\begin{array}{lll}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma\end{array}\right| - sin \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma\end{array}\right|$
चँकि प्रथम सारणिक में $0 = cos \delta\cdot0 - sin \delta \cdot0 = 0$
चूँकि प्रथम सारणिक में $C_2$ तथा $C_3$ और द्वितीय सारणिक में $C_1$ तथा $C_3$ समान है, अतः सारणिकों का मान शून्य हैं।
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