यदि $a, b, c$ धनात्मक और भिन्न हैं तो दिखाइए कि सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}\right|$ का मान ऋणात्मक है।
EXAMPLE-30
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$C_1 \rightarrow C_{1 }+ C_{2 }+ C_3$ का प्रयोग करने पर
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b \end{array}\right| = (a + b + c)\left|\begin{array}{lll} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{array}\right|$
$= (a + b + c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_{2 }- R_{1 }$ और $R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ का प्रयोग करने पर$)$
$= (a + b + c) [(c - b) (b - c) - (a - c) (a - b)] (C_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर$)$
$= (a + b + c) (-a^{2 }- b^{2 }- c^{2 }+ ab + bc + ca)$
$= \frac{-1}{2} (a + b + c) (2a^{2 }+ 2b^{2 }+ 2c^{2 }- 2ab - 2bc - 2ca)$
$= \frac{-1}{2} (a + b + c)[(a - b)^{2 }+ (b - c)^{2 }+ (c - a)^2]$
जो ऋणात्मक है $($क्योंकि $a + b + c > 0)$ और $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 > 0)$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b \end{array}\right| = (a + b + c)\left|\begin{array}{lll} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{array}\right|$
$= (a + b + c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_{2 }- R_{1 }$ और $R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ का प्रयोग करने पर$)$
$= (a + b + c) [(c - b) (b - c) - (a - c) (a - b)] (C_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर$)$
$= (a + b + c) (-a^{2 }- b^{2 }- c^{2 }+ ab + bc + ca)$
$= \frac{-1}{2} (a + b + c) (2a^{2 }+ 2b^{2 }+ 2c^{2 }- 2ab - 2bc - 2ca)$
$= \frac{-1}{2} (a + b + c)[(a - b)^{2 }+ (b - c)^{2 }+ (c - a)^2]$
जो ऋणात्मक है $($क्योंकि $a + b + c > 0)$ और $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 > 0)$
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