सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$
Miscellaneous Exercise-2
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बायाँ पक्ष $= \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|$
$R_1 \rightarrow a R_1, R_2 \rightarrow b R_2$ तथा $R_3 \rightarrow c R_3$ से,
बायाँ पक्ष $= \frac{1}{a b c} \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & a b c \\ b^{2} & b^{3} & a b c \\ c^{2} & c^{3} & a b c\end{array}\right|$
$= \frac{1}{a b c} \times abc \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right| (C_3$ से $abc$ उभयनिष्ठ लेने पर$)$
$= (- 1)^2 \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| (C_1 \leftrightarrow C_{3 }$ तथा $C_2 \leftrightarrow C3$ से$)$
$= \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| =$ दायाँ पक्ष
$R_1 \rightarrow a R_1, R_2 \rightarrow b R_2$ तथा $R_3 \rightarrow c R_3$ से,
बायाँ पक्ष $= \frac{1}{a b c} \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & a b c \\ b^{2} & b^{3} & a b c \\ c^{2} & c^{3} & a b c\end{array}\right|$
$= \frac{1}{a b c} \times abc \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right| (C_3$ से $abc$ उभयनिष्ठ लेने पर$)$
$= (- 1)^2 \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| (C_1 \leftrightarrow C_{3 }$ तथा $C_2 \leftrightarrow C3$ से$)$
$= \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| =$ दायाँ पक्ष
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$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q \end{array}\right| = 1$ - 8सारणिक के अवयवों के उपसारणिक सहखण्ड लिखिए: $\left|\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right|$View Solution
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