सारणिक के अवयवों के उपसारणिक सहखण्ड लिखिए: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|$
Exercise-4.3-2(2)
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माना $A = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं
$M_{11} = \left|\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = 10 + 1 = 11$
$M_{12} = \left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right| = 6 - 0 = 6$ तथा $M_{13} = \left|\begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{array}\right|= 3 - 0 = 3$
द्वितीय पंक्ति के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं
$M_{21} = \left|\begin{array}{ll} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = 0 - 4 = - 4$
$M_{22 }= \left|\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{array}\right| = 2 - 0 = 2$
तथा $M_{23} = \left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right| = 1 - 0 = 1$
तृतीय पंक्ति के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं
$M_{31 }= \left|\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & -1 \end{array}\right|= 0 - 20 = - 20$
$M_{32} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & -1 \end{array}\right|= - 1 - 12 = -13$ तथा $M_{33} = \left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 3 & 5 \end{array}\right|= 5 - 0 = 5$
अतः प्रथम पंक्ति के अवयवों के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }=(-1)^{1 + 1} M_{11 }= 1 \times 11 = 11$
$A_{12 }=(-1)^{1 + 2} M_{12 }= - 1 \times 6 = - 6$
$A_{13 }=(-1)^{1 + 3} M_{13 }= 1 \times 3 = 3$
द्वितीय पंक्ति के अवयवों के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{21 }= (- 1)^{2 + 1} M_{21 }= - 1 \times - 4 = 4$
$A_{22 }= (- 1)^{2 + 2} M_{22 }= 1 \times 2 = 2$
$A_{23 }= (- 1)^{2 + 3} M_{23 }= - 1 \times 1 = - 1$
तृतीय पंक्ति के अवयवों के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{31 }= (- 1)^{3 + 1 }M_{31 }= 1 \times - 20 = - 20$
$A32 = (- 1)^{3+2} M_{32 }= - 1 \times- 13 = 13$
$A_{33} = (- 1)^{3 + 3} M_{33 }= 1 \times 5 = 5$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं
$M_{11} = \left|\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = 10 + 1 = 11$
$M_{12} = \left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right| = 6 - 0 = 6$ तथा $M_{13} = \left|\begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{array}\right|= 3 - 0 = 3$
द्वितीय पंक्ति के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं
$M_{21} = \left|\begin{array}{ll} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = 0 - 4 = - 4$
$M_{22 }= \left|\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{array}\right| = 2 - 0 = 2$
तथा $M_{23} = \left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right| = 1 - 0 = 1$
तृतीय पंक्ति के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं
$M_{31 }= \left|\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & -1 \end{array}\right|= 0 - 20 = - 20$
$M_{32} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & -1 \end{array}\right|= - 1 - 12 = -13$ तथा $M_{33} = \left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 3 & 5 \end{array}\right|= 5 - 0 = 5$
अतः प्रथम पंक्ति के अवयवों के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }=(-1)^{1 + 1} M_{11 }= 1 \times 11 = 11$
$A_{12 }=(-1)^{1 + 2} M_{12 }= - 1 \times 6 = - 6$
$A_{13 }=(-1)^{1 + 3} M_{13 }= 1 \times 3 = 3$
द्वितीय पंक्ति के अवयवों के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{21 }= (- 1)^{2 + 1} M_{21 }= - 1 \times - 4 = 4$
$A_{22 }= (- 1)^{2 + 2} M_{22 }= 1 \times 2 = 2$
$A_{23 }= (- 1)^{2 + 3} M_{23 }= - 1 \times 1 = - 1$
तृतीय पंक्ति के अवयवों के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{31 }= (- 1)^{3 + 1 }M_{31 }= 1 \times - 20 = - 20$
$A32 = (- 1)^{3+2} M_{32 }= - 1 \times- 13 = 13$
$A_{33} = (- 1)^{3 + 3} M_{33 }= 1 \times 5 = 5$
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