सारणिक के गुणधर्मों का प्रयोग करके $\left|\begin{array}{lll} x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3} \end{array}\right| = (1 + pxyz) (x - y) (y - z) (z - x)$ को सिद्ध कीजिए।
Miscellaneous Exercise-12
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बायाँ पक्ष $= \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & p x^{3} \\ y & y^{2} & p y^{3} \\ z & z^{2} & p z^{3}\end{array}\right|$
प्रथम सारणिक में $C_1$ तथा $C_3, C_2$ तथा $C_3$ को आपस में परस्पर बदलने पर तथा दूसरे सारणिक में $C_3$ से $p$ उभयनिष्ठ लेने पर,
बायाँ पक्ष $= (- 1)^2 \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + p \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + pxyz\left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| [R_1$ से $x_1 R_2$ से $y$ तथा $R_3$ से $z$ उभयनिष्ठ लेने पर,$]$
$= (1 + pxyz)\left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ तथा $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ से$)$
$C_1$ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर
बायाँ पक्ष $= (1 + pxyz) [(y - x)(z^{2 }- x^2) - (z - x)(y^{2 }- x^2)]$
$= (1 + pxyz)[(y - x)(z - x)(z + x) - (z - x)(y - x)(y + x)]$
$= (1 + pxyz)(y - x)(z - x)[(z + x) - (y + x)]$
$= (1 + pxyz)(y - x)(z - x)[(z + x - y - x)]$
$= (1 + pxyz)[(y - x)(z - x)(z - y) = (1 + pxyz)(x - y)(y - z) (z - x)$
प्रथम सारणिक में $C_1$ तथा $C_3, C_2$ तथा $C_3$ को आपस में परस्पर बदलने पर तथा दूसरे सारणिक में $C_3$ से $p$ उभयनिष्ठ लेने पर,
बायाँ पक्ष $= (- 1)^2 \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + p \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + pxyz\left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| [R_1$ से $x_1 R_2$ से $y$ तथा $R_3$ से $z$ उभयनिष्ठ लेने पर,$]$
$= (1 + pxyz)\left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ तथा $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ से$)$
$C_1$ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर
बायाँ पक्ष $= (1 + pxyz) [(y - x)(z^{2 }- x^2) - (z - x)(y^{2 }- x^2)]$
$= (1 + pxyz)[(y - x)(z - x)(z + x) - (z - x)(y - x)(y + x)]$
$= (1 + pxyz)(y - x)(z - x)[(z + x) - (y + x)]$
$= (1 + pxyz)(y - x)(z - x)[(z + x - y - x)]$
$= (1 + pxyz)[(y - x)(z - x)(z - y) = (1 + pxyz)(x - y)(y - z) (z - x)$
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