सिद्ध कीजिए कि सारणिक $\left|\begin{array}{ccc} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{array}\right|, \theta$ से स्वतंत्र है।
Miscellaneous Exercise-1
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माना $A = \left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$ प्रथम पंक्ति के संगत विस्तार करने पर
$A = x \left|\begin{array}{cc} -x & 1 \\ 1 & x \end{array}\right| - sin\theta \left|\begin{array}{cc} -\sin \theta & 1 \\ \cos \theta & x \end{array}\right| + cos\theta \left|\begin{array}{cc} -\sin \theta & -x \\ \cos \theta & 1 \end{array}\right|$
$= x (- x^{2 }- 1) - \sin \theta (- x \sin \theta - \cos \theta) + \cos \theta(- \sin \theta + x \cos \theta)$
$= - x^{3 }- x + x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \sin \theta \cos \theta + x \cos^2\theta$
$= - x^3- x + x (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = - x^{3 }- x + x(\because \sin^2 \theta + \cos^2\theta = 1)$
$= - x^3$
अतः $A, \theta$ से स्वतंत्र है।
$A = x \left|\begin{array}{cc} -x & 1 \\ 1 & x \end{array}\right| - sin\theta \left|\begin{array}{cc} -\sin \theta & 1 \\ \cos \theta & x \end{array}\right| + cos\theta \left|\begin{array}{cc} -\sin \theta & -x \\ \cos \theta & 1 \end{array}\right|$
$= x (- x^{2 }- 1) - \sin \theta (- x \sin \theta - \cos \theta) + \cos \theta(- \sin \theta + x \cos \theta)$
$= - x^{3 }- x + x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \sin \theta \cos \theta + x \cos^2\theta$
$= - x^3- x + x (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = - x^{3 }- x + x(\because \sin^2 \theta + \cos^2\theta = 1)$
$= - x^3$
अतः $A, \theta$ से स्वतंत्र है।
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