समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, 0), (2, 2) एवं (3, 1) हैं।
example-9
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मान लीजिए A(1, 0), B(2, 2) एवं C(3, 1) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं
$\triangle$ABC का क्षेत्रफल = $\triangle$ABD का क्षेत्रफल + समलंब चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल $-\triangle$ AEC का क्षेत्रफल अब भुजाएँ AB, BC एवं CA के समीकरण क्रमशः
y = 2(x - 1), y = 4 - x, y = $\frac{1}{2}(x-1)$ हैं।
अतः $\triangle$ABC का क्षेत्रफल
$=\int_{1}^{2} 2(x-1) d x$$+\int_{2}^{3}(4-x) d x-\int_{1}^{3} \frac{x-1}{2} d x$
$=2\left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{2}+\left[4 x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{3}$$-\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{3}$
$=2\left[\left(\frac{2^{2}}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$$+\left[\left(4 \times 3-\frac{3^{2}}{2}\right)-\left(4 \times 2-\frac{2^{2}}{2}\right)\right]$$-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{3^{2}}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]=\frac{3}{2}$
$\triangle$ABC का क्षेत्रफल = $\triangle$ABD का क्षेत्रफल + समलंब चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल $-\triangle$ AEC का क्षेत्रफल अब भुजाएँ AB, BC एवं CA के समीकरण क्रमशः
y = 2(x - 1), y = 4 - x, y = $\frac{1}{2}(x-1)$ हैं।
अतः $\triangle$ABC का क्षेत्रफल
$=\int_{1}^{2} 2(x-1) d x$$+\int_{2}^{3}(4-x) d x-\int_{1}^{3} \frac{x-1}{2} d x$
$=2\left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{2}+\left[4 x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{3}$$-\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{3}$
$=2\left[\left(\frac{2^{2}}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$$+\left[\left(4 \times 3-\frac{3^{2}}{2}\right)-\left(4 \times 2-\frac{2^{2}}{2}\right)\right]$$-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{3^{2}}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]=\frac{3}{2}$
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