दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ एवं रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-8
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दिया है, वक्र $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 ...(i)$
जोकि एक दीर्घवृत्त को निरूपित करता है तथा जिसका केन्द्र $(0, 0)$ है।
तथा रेखा का समीकरण,
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1 ...(ii)$
दीर्घवृत्त तथा रेखा के प्रतिच्छेदी बिंदु को ज्ञात करने के लिए समी $(ii)$ से $x$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$\left(\frac{y}{2}-1\right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ $ \Rightarrow \frac{y^{2}}{4}+1-y+\frac{y^{2}}{4}=1$
$\Rightarrow y^{2 }- 2y = 0 \Rightarrow y = 0, 2$
$y = 0, x = 3$ तथा $y = 2, x = 0$
अर्थात् $A(3, 0)$ एवं $B(0, 2)$ प्रतिच्छेदा बिंदु है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($वक्र $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ के अंतर्गत, $x = 0$ एवं $x = 3$ के मध्यवर्ती भाग का क्षेत्रफल$) - ($रेखा $\frac {x}{3}+ \frac {y}{ 2}=1$ के अंतर्गत $x = 0$ एवं $x = 3$ के मध्यवर्ती भाग का क्षेत्रफल$)$
$=\int_{0}^{3} 2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} d x-\int_{0}^{3} 2\left(1-\frac{x}{3}\right) d x$
$=\frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{3^{2}-x^{2}} d x$$-\frac{2}{3} \int_{0}^{3}(3-x) d x$
$=\frac{2}{3}\left[\frac{x}{2} \sqrt{3^{2}-x^{2}}+\frac{9}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{3}\right]_{0}^{3}$$-\frac{2}{3}\left[3 x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}$
$\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\right.$$\left.=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]$
$=\frac{2}{3}\left[0+\frac{9}{2} \sin ^{-1}(1)-0\right]$$-\frac{2}{3}\left[9-\frac{9}{2}-0\right]$$=3\left(\frac{\pi}{2}\right)-(3)=3\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$
$=\frac{3}{2}(\pi-2)$ वर्ग इकाई
जोकि एक दीर्घवृत्त को निरूपित करता है तथा जिसका केन्द्र $(0, 0)$ है।
तथा रेखा का समीकरण,
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1 ...(ii)$
दीर्घवृत्त तथा रेखा के प्रतिच्छेदी बिंदु को ज्ञात करने के लिए समी $(ii)$ से $x$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$\left(\frac{y}{2}-1\right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ $ \Rightarrow \frac{y^{2}}{4}+1-y+\frac{y^{2}}{4}=1$
$\Rightarrow y^{2 }- 2y = 0 \Rightarrow y = 0, 2$
$y = 0, x = 3$ तथा $y = 2, x = 0$
अर्थात् $A(3, 0)$ एवं $B(0, 2)$ प्रतिच्छेदा बिंदु है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($वक्र $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ के अंतर्गत, $x = 0$ एवं $x = 3$ के मध्यवर्ती भाग का क्षेत्रफल$) - ($रेखा $\frac {x}{3}+ \frac {y}{ 2}=1$ के अंतर्गत $x = 0$ एवं $x = 3$ के मध्यवर्ती भाग का क्षेत्रफल$)$
$=\int_{0}^{3} 2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} d x-\int_{0}^{3} 2\left(1-\frac{x}{3}\right) d x$
$=\frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{3^{2}-x^{2}} d x$$-\frac{2}{3} \int_{0}^{3}(3-x) d x$
$=\frac{2}{3}\left[\frac{x}{2} \sqrt{3^{2}-x^{2}}+\frac{9}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{3}\right]_{0}^{3}$$-\frac{2}{3}\left[3 x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}$
$\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\right.$$\left.=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]$
$=\frac{2}{3}\left[0+\frac{9}{2} \sin ^{-1}(1)-0\right]$$-\frac{2}{3}\left[9-\frac{9}{2}-0\right]$$=3\left(\frac{\pi}{2}\right)-(3)=3\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$
$=\frac{3}{2}(\pi-2)$ वर्ग इकाई
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