सिद्ध कीजिए कि वक्र $y^2 = 4x$ एवं $x^{2 }= 4y,$ रेखाओं $x = 0, x = 4, y = 4$ एवं $y = 0$ से घिरे वर्ग के क्षेत्रफल को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
example-14
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ध्यान दीजिए कि परवलयों $y^{2 }= 4x$ एवं $x^{2 }= 4y$ के प्रतिच्छेद बिंदु $(0, 0)$ एवं $(4, 4)$ हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।
अब वक्रों $y^{2 }= 4x$ एवं $x^{2 }= 4y$ से घिरे क्षेत्र $\text{OAQBO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4}\left(2 \sqrt{x}-\frac{x^{2}}{4}\right) d x$
$=\left[2 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4}$
$=\frac{32}{3}-\frac{16}{3}=\frac{16}{3} ...(i)$
पुनः वक्रों $x^{2 }= 4y, x = 0, x = 4$ एवं $x-$अक्ष से घिरे क्षेत्र $\text{OPQAO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{4} d x=\frac{1}{12}\left[x^{3}\right]_{0}^{4}=\frac{16}{3} ...(ii)$
इसी प्रकार वक्र $y^{2 }= 4x, y-$अक्ष, $y = 0$ एवं $y = 4$ से घिरे क्षेत्र $\text{OBQRO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4} x d y=\int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{4} d\ y$
$=\frac{1}{12}\left[y^{3}\right]_{0}^{4}=\frac{16}{3} ...(iii)$
समीकरणों $(i), (ii)$ तथा $(iii)$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि
क्षेत्र $\text{OAQBO}$ का क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $\text{OPQAO}$ का क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $\text{OBQRO}$ का क्षेत्रफल अर्थात्, परवलयों $y^{2 }= 4x$ एवं $x^{2 }= 4y$ से घिरा क्षेत्रफल दिए हुए वर्ग के क्षेत्रफल को तीन बराबर भागों में विभाजित करता है।
अब वक्रों $y^{2 }= 4x$ एवं $x^{2 }= 4y$ से घिरे क्षेत्र $\text{OAQBO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4}\left(2 \sqrt{x}-\frac{x^{2}}{4}\right) d x$
$=\left[2 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4}$
$=\frac{32}{3}-\frac{16}{3}=\frac{16}{3} ...(i)$
पुनः वक्रों $x^{2 }= 4y, x = 0, x = 4$ एवं $x-$अक्ष से घिरे क्षेत्र $\text{OPQAO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{4} d x=\frac{1}{12}\left[x^{3}\right]_{0}^{4}=\frac{16}{3} ...(ii)$
इसी प्रकार वक्र $y^{2 }= 4x, y-$अक्ष, $y = 0$ एवं $y = 4$ से घिरे क्षेत्र $\text{OBQRO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4} x d y=\int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{4} d\ y$
$=\frac{1}{12}\left[y^{3}\right]_{0}^{4}=\frac{16}{3} ...(iii)$
समीकरणों $(i), (ii)$ तथा $(iii)$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि
क्षेत्र $\text{OAQBO}$ का क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $\text{OPQAO}$ का क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $\text{OBQRO}$ का क्षेत्रफल अर्थात्, परवलयों $y^{2 }= 4x$ एवं $x^{2 }= 4y$ से घिरा क्षेत्रफल दिए हुए वर्ग के क्षेत्रफल को तीन बराबर भागों में विभाजित करता है।
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