समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(-1, 0), (1, 3)$ एवं $(3, 2)$ हैं।
Exercise-8.2-4
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मान लीजिए दिए हुए तीनों बिंदु $A(-1, 0), B(1, 3)$ तथा $C(3, 2)$ हैं। हम जानते हैं कि, बिंदु $(x_1, y_1)$ एवं $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण
$(y - y_1) = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)$ होता है।
$\therefore$ रेखा $AB$ का समीकरण
$y - 0 = \frac{3-0}{1+1}(x+1)$
$\Rightarrow y=\frac{3}{2}(x+1)$
रेखा $BC$ का समीकरण
$y - 3 = \frac{2-3}{3-1}(x-1) $
$\Rightarrow y=-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}+3 $ $\Rightarrow y=-\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}$
तथा रेखा $AC$ का समी
$y-0=\frac{2-0}{3+1}(x+1) $ $\Rightarrow y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle AMB$ का क्षेत्रफल $+ \square \text{BMNC}$ का क्षेत्रफल $- \triangle ANC$ का क्षेत्रफल
$=\int_{-1}^{1} \frac{3}{2}(x+1) d x$$+\int_{1}^{3}\left(-\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}\right) d x$$-\int_{-1}^{3}\left(\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\right) d x$
$=\frac{3}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{-1}^{1}+\left[-\frac{x^{2}}{4}+\frac{7}{2} x\right]_{1}^{3}$$-\left[\frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{2} x\right]_{-1}^{3}$
$=\frac{3}{2}\left[\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}-(-1)\right]$$+\left(-\frac{9}{4}+\frac{21}{2}+\frac{1}{4}-\frac{7}{2}\right)$$-\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)$
= $\frac{3}{2}(2) + (7 - 2) - (2 + 2) = 3 + 5 - 4 = 4$ वर्ग इकाई
$(y - y_1) = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)$ होता है।
$\therefore$ रेखा $AB$ का समीकरण
$y - 0 = \frac{3-0}{1+1}(x+1)$
$\Rightarrow y=\frac{3}{2}(x+1)$
रेखा $BC$ का समीकरण
$y - 3 = \frac{2-3}{3-1}(x-1) $
$\Rightarrow y=-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}+3 $ $\Rightarrow y=-\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}$
तथा रेखा $AC$ का समी
$y-0=\frac{2-0}{3+1}(x+1) $ $\Rightarrow y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle AMB$ का क्षेत्रफल $+ \square \text{BMNC}$ का क्षेत्रफल $- \triangle ANC$ का क्षेत्रफल
$=\int_{-1}^{1} \frac{3}{2}(x+1) d x$$+\int_{1}^{3}\left(-\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}\right) d x$$-\int_{-1}^{3}\left(\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\right) d x$
$=\frac{3}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{-1}^{1}+\left[-\frac{x^{2}}{4}+\frac{7}{2} x\right]_{1}^{3}$$-\left[\frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{2} x\right]_{-1}^{3}$
$=\frac{3}{2}\left[\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}-(-1)\right]$$+\left(-\frac{9}{4}+\frac{21}{2}+\frac{1}{4}-\frac{7}{2}\right)$$-\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)$
= $\frac{3}{2}(2) + (7 - 2) - (2 + 2) = 3 + 5 - 4 = 4$ वर्ग इकाई
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