प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 4$, रेखा $x = \sqrt{3} y$ एवं $x-$अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.1-6
Download our app for free and get started
दिए गए वृत्त का समीकरण $x^{2 }+ y^{2 }= 4$ तथा $x = \sqrt{3} y$ या $y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$, मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा को निरूपित करता है। रेखा $y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$, वृत्त के समीकरण को प्रतिच्छेद करती है। अतः यह वृत्त के समीकरण को सन्तुष्ट करेगी।
$\therefore x^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{3}} x\right)^{2}=4 $ $ \Rightarrow \frac{4}{3} x^{2}=4$
$\Rightarrow x^{2}=\frac{4 \times 3}{4}=3 $ $ \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$
जब $x = \sqrt{3}$, तब $y = \frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{3})=1 ($प्रथम चतुर्थांश के लिए $x = \sqrt{3}$ लें तथा $x = -\sqrt{3}$ को नगण्य करें$)$
$\therefore$ रेखा तथा वृत्त, बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ पर मिलते हैं।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $($प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र$)$
$= ($रेखा $y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$ द्वारा घिरा $x = 0$ से $x = \sqrt{3}$ के नीचे का क्षेत्रफल$) + ($वृत्त द्वारा घिरा $x = \sqrt{3}$ से $x = 2$ के नीचे का क्षेत्रफल$)$
$=\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} x d x+\int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x \ (\because x^{2 }+ y^{2 }= 4$ $\Rightarrow y = \sqrt{4-x^{2}})$
$=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{3}}$$+\left[\frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}}+\frac{2^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{\sqrt{3}}^{2}$
$=\frac{1}{2 \sqrt{3}}\left[(\sqrt{3})^{2}-0^{2}\right]$$+\left[0+2 \sin ^{-1}(1)-\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4-3}\right.$$ -2 \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)]$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+2\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}-2\left(\frac{\pi}{3}\right)$ $=\pi-\frac{2 \pi}{3}=\frac{\pi}{3} $ वर्ग इकाई
$\therefore x^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{3}} x\right)^{2}=4 $ $ \Rightarrow \frac{4}{3} x^{2}=4$
$\Rightarrow x^{2}=\frac{4 \times 3}{4}=3 $ $ \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$
जब $x = \sqrt{3}$, तब $y = \frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{3})=1 ($प्रथम चतुर्थांश के लिए $x = \sqrt{3}$ लें तथा $x = -\sqrt{3}$ को नगण्य करें$)$
$\therefore$ रेखा तथा वृत्त, बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ पर मिलते हैं।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $($प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र$)$
$= ($रेखा $y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$ द्वारा घिरा $x = 0$ से $x = \sqrt{3}$ के नीचे का क्षेत्रफल$) + ($वृत्त द्वारा घिरा $x = \sqrt{3}$ से $x = 2$ के नीचे का क्षेत्रफल$)$
$=\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} x d x+\int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x \ (\because x^{2 }+ y^{2 }= 4$ $\Rightarrow y = \sqrt{4-x^{2}})$
$=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{3}}$$+\left[\frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}}+\frac{2^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{\sqrt{3}}^{2}$
$=\frac{1}{2 \sqrt{3}}\left[(\sqrt{3})^{2}-0^{2}\right]$$+\left[0+2 \sin ^{-1}(1)-\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4-3}\right.$$ -2 \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)]$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+2\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}-2\left(\frac{\pi}{3}\right)$ $=\pi-\frac{2 \pi}{3}=\frac{\pi}{3} $ वर्ग इकाई
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$x-$ अक्ष के ऊपर तथा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 8x$ एवं परवलय $y^{2 }= 4x$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(-1, 0), (1, 3)$ एवं $(3, 2)$ हैं।View Solution
- 4दो वृत्तों $x^{2 }+ y^{2 }= 4$ एवं $(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= 4$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5View Solutionसमाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, 0), (2, 2) एवं (3, 1) हैं।
- 6दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ एवं रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज $\text{ABC}$, का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $A(2, 0), B(4, 5)$ एवं $C(6, 3)$ हैं।View Solution
- 8परवलय $x^{2 }= 4y$ और वृत्त $4x^{2 }+ 4y^{2 }= 9$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9वक्र $x^{2 }= 4y$ एवं रेखा $x = 4y - 2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10छेदक रेखा $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution