वक्रों $(x - 1)^{2 }+ y^{2 }= 1$ एवं $x^{2 }+ y^{2 }= 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.2-2
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दिया है, वक्र
$(x - 1)^{2 }+ y^{2 }= 1 ...(i)$
$\therefore y=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$
जो एक वृत्त को निरूपित करता है जिसका केन्द्र $(1, 0)$ है तथा त्रिज्या 1 है।
तथा वक्र,$ x^{2 }+ y^{2 }= 1 ...(ii)$
$\therefore y=\sqrt{1-x^{2}}$
जो एक वृत्त को निरूपित करता है जिसका केन्द्र $(0, 0)$ है तथा त्रिज्या 1 है।
चूँकि दोनों वक्र, वृत्त हैं अतः $(x - 1)^{2 }= x^2$ पर मिलते हैं, अतः $2x = 1$ या $x = \frac{1}{2}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $($छायांकित क्षेत्र$)$
$=2\left[\int_{0}^{1 / 2} y_{1} d x+\int_{1 / 2}^{1} y_{2} d x\right]$
$=2\left[\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1-(x-1)^{2}} d x\right.$$\left.+\int_{1 / 2}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x\right]$
$=2\left[\frac{x-1}{2} \sqrt{1-(x-1)^{2}}\right.$$\left.+\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{x-1}{1}\right]_{0}^{1 / 2}$$+2\left[\frac{x}{2} \sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2} \sin ^{-1} x\right]_{1 / 2}^{1}$
$=2\left[\frac{\frac{1}{2}-1}{2} \sqrt{1-\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right.$$\left.-\left(\frac{-1}{2}\right) 0-\frac{1}{2} \sin ^{-1}(-1)\right]$$+2\left[0+\frac{1}{2} \sin ^{-1}(1)\right.$$\left.-\frac{1}{4} \sqrt{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right]$
$=2\left[-\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6}+0+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\right]$$+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$
$=-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}$ $=\left(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ वर्ग इकाई
$(x - 1)^{2 }+ y^{2 }= 1 ...(i)$
$\therefore y=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$
जो एक वृत्त को निरूपित करता है जिसका केन्द्र $(1, 0)$ है तथा त्रिज्या 1 है।
तथा वक्र,$ x^{2 }+ y^{2 }= 1 ...(ii)$
$\therefore y=\sqrt{1-x^{2}}$
जो एक वृत्त को निरूपित करता है जिसका केन्द्र $(0, 0)$ है तथा त्रिज्या 1 है।
चूँकि दोनों वक्र, वृत्त हैं अतः $(x - 1)^{2 }= x^2$ पर मिलते हैं, अतः $2x = 1$ या $x = \frac{1}{2}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $($छायांकित क्षेत्र$)$
$=2\left[\int_{0}^{1 / 2} y_{1} d x+\int_{1 / 2}^{1} y_{2} d x\right]$
$=2\left[\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1-(x-1)^{2}} d x\right.$$\left.+\int_{1 / 2}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x\right]$
$=2\left[\frac{x-1}{2} \sqrt{1-(x-1)^{2}}\right.$$\left.+\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{x-1}{1}\right]_{0}^{1 / 2}$$+2\left[\frac{x}{2} \sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2} \sin ^{-1} x\right]_{1 / 2}^{1}$
$=2\left[\frac{\frac{1}{2}-1}{2} \sqrt{1-\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right.$$\left.-\left(\frac{-1}{2}\right) 0-\frac{1}{2} \sin ^{-1}(-1)\right]$$+2\left[0+\frac{1}{2} \sin ^{-1}(1)\right.$$\left.-\frac{1}{4} \sqrt{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right]$
$=2\left[-\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6}+0+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\right]$$+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$
$=-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}$ $=\left(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ वर्ग इकाई
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