प्रथम चतुर्थांश में $x^{2 }= 4y, y = 2, y = 4$ एवं $y-$अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.1-3
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दिया गया वक्र $x^{2 }= 4ay$ एक परवलय है जोकि $Y-$अक्ष के परितः सममित है। $(\because$ इसमें $x$ की सम घातें सम्मिलित हैं$)$ तथा मूलबिंदु से गुजरता है।
वक्र $x^{2 }= 4ay, y = 2$ तथा $y = 4$ तथा $Y-$अक्ष के द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल आकृति में दर्शाया गया है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल (छायांकित क्षेत्र) = $\int_{y=a}^{y=b}|x| d y\ ($यहाँ, $|x|=\sqrt{4 y}$ तथा $a = 2, b = 4)$
$=\int_{2}^{4}|x| d y (Y-$अक्ष पर प्रारंभिक पट्टियाँ मानने पर$)$
$=\int_{2}^{4} 2 \sqrt{y} d y $ $\left(\because x^{2}=4 y, \ \therefore|x|=2 \sqrt{y}\right)$
$=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{2}^{4}=\frac{4}{3}\left(4^{3 / 2}-2^{3 / 2}\right)$
$=\frac{4}{3}(8-2 \sqrt{2})$
$=\frac{8}{3}(4-\sqrt{2})$ वर्ग इकाई
वक्र $x^{2 }= 4ay, y = 2$ तथा $y = 4$ तथा $Y-$अक्ष के द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल आकृति में दर्शाया गया है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल (छायांकित क्षेत्र) = $\int_{y=a}^{y=b}|x| d y\ ($यहाँ, $|x|=\sqrt{4 y}$ तथा $a = 2, b = 4)$
$=\int_{2}^{4}|x| d y (Y-$अक्ष पर प्रारंभिक पट्टियाँ मानने पर$)$
$=\int_{2}^{4} 2 \sqrt{y} d y $ $\left(\because x^{2}=4 y, \ \therefore|x|=2 \sqrt{y}\right)$
$=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{2}^{4}=\frac{4}{3}\left(4^{3 / 2}-2^{3 / 2}\right)$
$=\frac{4}{3}(8-2 \sqrt{2})$
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