समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}$
example-9(2)
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समाकलन $\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c},$ ज्ञात करने के लिए हम
$ax^2 + bx + c = a \left[x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}\right] = a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\right)\right]$ लिखते हैं।
हम समाकल्य के हर को निम्नलिखित प्रकार से लिखते हैं
$3x^2+ 13x - 10 = 3 \left(x^{2}+\frac{13 x}{3}-\frac{10}{3}\right) $
$=3\left[\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}\right] ($पूर्ण वर्ग बनाने पर$)$
इसलिए $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}$
$=\frac{1}{3} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}}$
अब $x + \frac{13}{6} = t$ रखने पर $dx = dt$
इसलिए $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}$
$=\frac{1}{3} \int \frac{d t}{t^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}}$
अब $x+\frac{13}{6}=t$ रखने पर $dx = dt$
इसलिए $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}=\frac{1}{3} \int \frac{d t}{t^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}}$
$=\frac{1}{3 \times 2 \times \frac{17}{6}} \log \left|\frac{t-\frac{17}{6}}{t+\frac{17}{6}}\right|+\mathrm{C}_{1}$
$=\frac{1}{17} \log \left|\frac{x+\frac{13}{6}-\frac{17}{6}}{x+\frac{13}{6}+\frac{17}{6}}\right|$
$+C_{1}=\frac{1}{17} \log \left|\frac{6 x-4}{6 x+30}\right|+C_{1}$
$=\frac{1}{17} \log \left|\frac{3 x-2}{x+5}\right|$
$+C_{1}+\frac{1}{17} \log \frac{1}{3}$
$=\frac{1}{17} \log \left|\frac{3 x-2}{x+5}\right| + C,$ where $C =\mathrm{C}_{1}+\frac{1}{17} \log \frac{1}{3}$
$ax^2 + bx + c = a \left[x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}\right] = a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\right)\right]$ लिखते हैं।
हम समाकल्य के हर को निम्नलिखित प्रकार से लिखते हैं
$3x^2+ 13x - 10 = 3 \left(x^{2}+\frac{13 x}{3}-\frac{10}{3}\right) $
$=3\left[\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}\right] ($पूर्ण वर्ग बनाने पर$)$
इसलिए $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}$
$=\frac{1}{3} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}}$
अब $x + \frac{13}{6} = t$ रखने पर $dx = dt$
इसलिए $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}$
$=\frac{1}{3} \int \frac{d t}{t^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}}$
अब $x+\frac{13}{6}=t$ रखने पर $dx = dt$
इसलिए $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}=\frac{1}{3} \int \frac{d t}{t^{2}-\left(\frac{17}{6}\right)^{2}}$
$=\frac{1}{3 \times 2 \times \frac{17}{6}} \log \left|\frac{t-\frac{17}{6}}{t+\frac{17}{6}}\right|+\mathrm{C}_{1}$
$=\frac{1}{17} \log \left|\frac{x+\frac{13}{6}-\frac{17}{6}}{x+\frac{13}{6}+\frac{17}{6}}\right|$
$+C_{1}=\frac{1}{17} \log \left|\frac{6 x-4}{6 x+30}\right|+C_{1}$
$=\frac{1}{17} \log \left|\frac{3 x-2}{x+5}\right|$
$+C_{1}+\frac{1}{17} \log \frac{1}{3}$
$=\frac{1}{17} \log \left|\frac{3 x-2}{x+5}\right| + C,$ where $C =\mathrm{C}_{1}+\frac{1}{17} \log \frac{1}{3}$
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