समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{1}{1+\tan x} d x$
example-6(3)
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$\int \frac{d x}{1+\tan x}=\int \frac{\cos x d x}{\cos x+\sin x}$
$=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x+\cos x-\sin x) d x}{\cos x+\sin x}$
$=\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x$
$=\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x ...(1)$
अब $\mathrm{I}=\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x$ पर विचार कीजिए।
अब $\cos x + \sin x = t$ प्रतिस्थापित कीजिए ताकि $(-\sin x + \cos x) dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}=\int \frac{d t}{t} = \log |t| + C_{2 }= \log |\cos x + \sin x| + C_2$
$I$ को $(1)$ में रखने पर हम पाते हैं
$\int \frac{d x}{1+\tan x} =\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x + \sin x| +\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}$
$=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x + \sin x| +\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}$
$=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x + \sin x| +\mathrm{C},\left(\mathrm{C}=\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}\right)$
$=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x+\cos x-\sin x) d x}{\cos x+\sin x}$
$=\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x$
$=\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x ...(1)$
अब $\mathrm{I}=\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x$ पर विचार कीजिए।
अब $\cos x + \sin x = t$ प्रतिस्थापित कीजिए ताकि $(-\sin x + \cos x) dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}=\int \frac{d t}{t} = \log |t| + C_{2 }= \log |\cos x + \sin x| + C_2$
$I$ को $(1)$ में रखने पर हम पाते हैं
$\int \frac{d x}{1+\tan x} =\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x + \sin x| +\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}$
$=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x + \sin x| +\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}$
$=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x + \sin x| +\mathrm{C},\left(\mathrm{C}=\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}\right)$
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