समाकलन को ज्ञात कीजिए : $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x$
example-10(2)
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$px + q = \mathrm{A} \frac{d}{d x}\left(a x^{2}+b x+c\right)+\mathrm{B} = A (2ax + b) + B$
आइए $x + 3$ को निम्नलिखित रूप में अभिव्यक्त करते हैं
$x+3=\mathrm{A} \frac{d}{d x} (5 − 4x − x^2) + B = A(−4 −2x) + B$
दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचरों को समान करने पर हम पाते हैं
$-2A = 1$ और $- 4 A + B = 3,$
अर्थात् $A =-\frac{1}{2}$ और $B = 1$
इसलिए $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x =-\frac{1}{2} \int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} +\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}$
$= -\frac{1}{2} I_1 + I_2 ...(1)$
$I_1,$ में $5 - 4x - x^{2 }= t,$ रखने पर $(-4 -2x) dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}_{1}=\int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} =\int \frac{d t}{\sqrt{t}}=2 \sqrt{t}+\mathrm{C}_{1}$
$=2 \sqrt{5-4 x-x^{2}}+C_{1} ...(2)$
अब $\mathrm{I}_{2}=\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}=\int \frac{d x}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}}$ पर विचार कीजिए
$x + 2 = t$ रखने पर $dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}_{2}=\int \frac{d t}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{t}{3} + C_2$
$=\sin ^{-1} \frac{x+2}{3}+C_{2} ...(3)$
समीकरणों $(2)$ एवं $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम
$\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}=-\sqrt{5-4 x-x^{2}}$
$+\sin ^{-1} \frac{x+2}{3}+\mathrm{C}$ प्राप्त करते हैं, जहाँ $C = C_2 -\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}$
आइए $x + 3$ को निम्नलिखित रूप में अभिव्यक्त करते हैं
$x+3=\mathrm{A} \frac{d}{d x} (5 − 4x − x^2) + B = A(−4 −2x) + B$
दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचरों को समान करने पर हम पाते हैं
$-2A = 1$ और $- 4 A + B = 3,$
अर्थात् $A =-\frac{1}{2}$ और $B = 1$
इसलिए $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x =-\frac{1}{2} \int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} +\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}$
$= -\frac{1}{2} I_1 + I_2 ...(1)$
$I_1,$ में $5 - 4x - x^{2 }= t,$ रखने पर $(-4 -2x) dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}_{1}=\int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} =\int \frac{d t}{\sqrt{t}}=2 \sqrt{t}+\mathrm{C}_{1}$
$=2 \sqrt{5-4 x-x^{2}}+C_{1} ...(2)$
अब $\mathrm{I}_{2}=\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}=\int \frac{d x}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}}$ पर विचार कीजिए
$x + 2 = t$ रखने पर $dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}_{2}=\int \frac{d t}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{t}{3} + C_2$
$=\sin ^{-1} \frac{x+2}{3}+C_{2} ...(3)$
समीकरणों $(2)$ एवं $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम
$\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}=-\sqrt{5-4 x-x^{2}}$
$+\sin ^{-1} \frac{x+2}{3}+\mathrm{C}$ प्राप्त करते हैं, जहाँ $C = C_2 -\frac{\mathrm{C}_{1}}{2}$
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