समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए:
$5x + 2y = 3$
$3x + 2y = 5$
$5x + 2y = 3$
$3x + 2y = 5$
Exercise-4.5-10
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दिए गए समीकरण निकाय को निम्न रूप में लिख सकते हैं $AX = B,$ जहाँ
$A = \left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right], X = \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right]$
यहाँ, $|A| = \left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right| = 10 - 6 = 4 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है तथा इसका अद्वितीय हल निम्न है $X = A^{-1} BA$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }= 2, A_{12 }= - 3, A_{21 }= - 2, A_{22 }= 5$
$\text{adj} (A) = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]^{T}= \left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{array}\right]$
$ \therefore A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (\text{adj} A) = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{array}\right]$
अब, $X = A^{-1} B = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right] $
$= \frac{1}{4} \left[\begin{array}{c}6-10 \\ -9+25\end{array}\right]\frac{1}{4} \left[\begin{array}{l}-4 \\ 16\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1 \\ 4\end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}-1 \\ 4\end{array}\right]$
अतः $x = -1$ तथा $y = 4$
$A = \left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right], X = \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right]$
यहाँ, $|A| = \left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right| = 10 - 6 = 4 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है तथा इसका अद्वितीय हल निम्न है $X = A^{-1} BA$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }= 2, A_{12 }= - 3, A_{21 }= - 2, A_{22 }= 5$
$\text{adj} (A) = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]^{T}= \left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{array}\right]$
$ \therefore A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (\text{adj} A) = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{array}\right]$
अब, $X = A^{-1} B = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right] $
$= \frac{1}{4} \left[\begin{array}{c}6-10 \\ -9+25\end{array}\right]\frac{1}{4} \left[\begin{array}{l}-4 \\ 16\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1 \\ 4\end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}-1 \\ 4\end{array}\right]$
अतः $x = -1$ तथा $y = 4$
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