संख्या $n^{2 }- 1, 8$ से विभाज्य होती है, यदि $n$ है एक
Exercise-1.1-3
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मान लीजिए कि $n^{2 }- 1$ के रूप का $a, n$ विषम या सम हो सकता है।
आइए दो मामलों पर विचार करें।
स्थिति $I$ यदि $n$ सम है अर्थात $n = 2k,$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a = (2k)^2 - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 - 1$
$k = 1$ पर, $= 4 (1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ पर, जो $8$ से विभाज्य नहीं है।
$k = 2$ पर, $a = 4 (2)^2 - 1 = 16 - 1 = 15$ जो $8$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $II$ यदि $n$ विषम है अर्थात $n = 2k + 1$ है, जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a = (2k + 1)^2 - 1$
$\Rightarrow 4k^2 + 1 + 4k - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$
$k = 1$ पर, $a = 4(1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8,$ जो $8$ से विभाज्य है।
$k = 2$ पर, $a = 4(2)(1 + 1) = 8 \times 2 = 16$ जो कि $8$ से विभाज्य है।
इसलिए, हम उपरोक्त दो मामलों से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि $n$ विषम है, तो $n^2 - 1, 8$ से विभाज्य है।
आइए दो मामलों पर विचार करें।
स्थिति $I$ यदि $n$ सम है अर्थात $n = 2k,$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a = (2k)^2 - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 - 1$
$k = 1$ पर, $= 4 (1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ पर, जो $8$ से विभाज्य नहीं है।
$k = 2$ पर, $a = 4 (2)^2 - 1 = 16 - 1 = 15$ जो $8$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $II$ यदि $n$ विषम है अर्थात $n = 2k + 1$ है, जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a = (2k + 1)^2 - 1$
$\Rightarrow 4k^2 + 1 + 4k - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$
$k = 1$ पर, $a = 4(1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8,$ जो $8$ से विभाज्य है।
$k = 2$ पर, $a = 4(2)(1 + 1) = 8 \times 2 = 16$ जो कि $8$ से विभाज्य है।
इसलिए, हम उपरोक्त दो मामलों से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि $n$ विषम है, तो $n^2 - 1, 8$ से विभाज्य है।
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