सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन y = x sin 3x (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ + 9y - 6 cos 3x = 0 का हल है।
Miscellaneous Exercise-2
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दिया है, y = x sin 3x ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x}=x \frac{d}{d x}$(sin 3x) + sin 3x $\frac{d}{d x}(x)$ (अवकलन के गुणनफल नियम से)
$\frac{d y}{d x}$ = x cos 3x $\times$ 3 + sin 3x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=3\left[x \frac{d}{d x} \cos 3 x+\cos 3 x \frac{d}{d x}(x)\right]$ $+\frac{d}{d x}(\sin 3 x)$
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = 3[x(-sin 3x $\times$ 3) + cos 3x] + cos 3x $\times$ 3
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = -9x sin 3x + 3 cos 3x + 3 cos 3x
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = -9x sin 3x + 6 cos 3x $\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = -9y + 6 cos 3x [समी. (i) से, y = x sin 3x]
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ + 9y - 6 cos 3x = 0
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x}=x \frac{d}{d x}$(sin 3x) + sin 3x $\frac{d}{d x}(x)$ (अवकलन के गुणनफल नियम से)
$\frac{d y}{d x}$ = x cos 3x $\times$ 3 + sin 3x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=3\left[x \frac{d}{d x} \cos 3 x+\cos 3 x \frac{d}{d x}(x)\right]$ $+\frac{d}{d x}(\sin 3 x)$
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = 3[x(-sin 3x $\times$ 3) + cos 3x] + cos 3x $\times$ 3
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = -9x sin 3x + 3 cos 3x + 3 cos 3x
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = -9x sin 3x + 6 cos 3x $\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = -9y + 6 cos 3x [समी. (i) से, y = x sin 3x]
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ + 9y - 6 cos 3x = 0
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
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