त्रिज्या $14 \ cm$ वाले एक वृत्त के लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके संगत त्रिज्यखंड का कोण $60^\circ$ है।
Exercise-11.3-10
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छायांकित क्षेत्र में,$ \triangle OAB$ एक छोटा खंड है।
$\theta = 60^\circ , OA = OB = r = 14 \ cm$
इसलिए, लघु खंड का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $- \triangle OAB$ का क्षेत्रफल
$\triangle OAB$ में,
$OA = OB [$एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ$]$
मान लीजिए$ \angle A = \angle B = x^\circ [$चूंकि समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं$]$
$\angle O + \angle A + \angle B = 180^\circ [$एक त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हुए$]$
$\Rightarrow 60^\circ + x + x = 180^\circ$
$\Rightarrow 2x = 180^\circ - 60^\circ$
$\Rightarrow x = \frac { 120 ^ { \circ } } { 2 }$
$\Rightarrow x = 60^\circ$
इसलिए, $\triangle OAB$ एक समबाहु \triangle है
लघु खंड का क्षेत्रफल $= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 ^ { \circ } } - \triangle OAB $का क्षेत्रफल
इसलिए, लघु खंड का क्षेत्रफल $= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } r ^ { 2 }$
$= \frac { 22 \times 14 \times 14 \times 60 ^ { \circ } } { 7 \times 360 ^ { \circ } } - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \times 14 \times 14$
$= \frac { 22 \times 14 } { 3 } - 49 \sqrt { 3 } = \left( \frac { 308 } { 3 } - 49 \sqrt { 3 } \right)cm^2$
$= (102.666 - 84.870) \ cm^2 = 17.796 \ cm^2$
$\theta = 60^\circ , OA = OB = r = 14 \ cm$
इसलिए, लघु खंड का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $- \triangle OAB$ का क्षेत्रफल
$\triangle OAB$ में,
$OA = OB [$एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ$]$
मान लीजिए$ \angle A = \angle B = x^\circ [$चूंकि समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं$]$
$\angle O + \angle A + \angle B = 180^\circ [$एक त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हुए$]$
$\Rightarrow 60^\circ + x + x = 180^\circ$
$\Rightarrow 2x = 180^\circ - 60^\circ$
$\Rightarrow x = \frac { 120 ^ { \circ } } { 2 }$
$\Rightarrow x = 60^\circ$
इसलिए, $\triangle OAB$ एक समबाहु \triangle है
लघु खंड का क्षेत्रफल $= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 ^ { \circ } } - \triangle OAB $का क्षेत्रफल
इसलिए, लघु खंड का क्षेत्रफल $= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } r ^ { 2 }$
$= \frac { 22 \times 14 \times 14 \times 60 ^ { \circ } } { 7 \times 360 ^ { \circ } } - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \times 14 \times 14$
$= \frac { 22 \times 14 } { 3 } - 49 \sqrt { 3 } = \left( \frac { 308 } { 3 } - 49 \sqrt { 3 } \right)cm^2$
$= (102.666 - 84.870) \ cm^2 = 17.796 \ cm^2$
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