रेखाओं $\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-9
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दी गई रेखाएँ निम्न हैं,
$\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(i)$
$\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}) ...(ii)$
हम जानते हैं कि रेखाओं $\vec{r}={a}_{1}+\lambda {b}_{1}$ तथा $\vec{r}={a}_{2}+\mu {b}_{2}$ के बीच की निम्नतम दूरी
d = $\frac{\left|\left(b_{1} \times b_{2}\right) \cdot\left(a_{2}-a_{1}\right)\right|}{\left|b_{1} \times b_{2}\right|} ...(iii)$
रेखा $\vec{r}={a}_{1}+\lambda {b}_{1}$ तथा $\vec{r}={a}_{2}+\mu {b}_{2}$ की तुलना समी $(i)$ तथा $(ii)$ से करने पर,
${a}_{1}=6 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}, {a}_{2}=-4 \hat{{i}}-\hat{{k}},$
${b}_{1}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}, {b}_{2}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
अब, $a_2 - a_1 = (-4 \hat{{i}}-\hat{{k}})-(6 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
$=-10 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$
पुनः, ${b}_{1} \times {b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{array}\right|$
$=\hat{i} (4 + 4) - \hat{j} (-2 - 6) + \hat{k} (- 2 + 6)$
$= 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$
$\therefore\left|{b}_{1} \times {b}_{2}\right|$
$=\sqrt{8^{2}+8^{2}+4^{2}}$
$=\sqrt{64+64+16}$
$=\sqrt{144}$
$= 12$
अब, $(b_1 \times b_2) (a_2 - a_1) $
$= (8 \hat{{i}}+8 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}) \cdot(-10 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})$
$= - 80 - 16 - 12 $
$= -108$
उपरोक्त मानों को समी $(iii)$ में रखने पर,
$d = \frac{\left|\left({b}_{1} \times {b}_{2}\right) \cdot\left({a}_{2}-{a}_{1}\right)\right|}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}$
$=\frac{108}{12} $
$= 9$ इकाई
$\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(i)$
$\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}) ...(ii)$
हम जानते हैं कि रेखाओं $\vec{r}={a}_{1}+\lambda {b}_{1}$ तथा $\vec{r}={a}_{2}+\mu {b}_{2}$ के बीच की निम्नतम दूरी
d = $\frac{\left|\left(b_{1} \times b_{2}\right) \cdot\left(a_{2}-a_{1}\right)\right|}{\left|b_{1} \times b_{2}\right|} ...(iii)$
रेखा $\vec{r}={a}_{1}+\lambda {b}_{1}$ तथा $\vec{r}={a}_{2}+\mu {b}_{2}$ की तुलना समी $(i)$ तथा $(ii)$ से करने पर,
${a}_{1}=6 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}, {a}_{2}=-4 \hat{{i}}-\hat{{k}},$
${b}_{1}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}, {b}_{2}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
अब, $a_2 - a_1 = (-4 \hat{{i}}-\hat{{k}})-(6 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
$=-10 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$
पुनः, ${b}_{1} \times {b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{array}\right|$
$=\hat{i} (4 + 4) - \hat{j} (-2 - 6) + \hat{k} (- 2 + 6)$
$= 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$
$\therefore\left|{b}_{1} \times {b}_{2}\right|$
$=\sqrt{8^{2}+8^{2}+4^{2}}$
$=\sqrt{64+64+16}$
$=\sqrt{144}$
$= 12$
अब, $(b_1 \times b_2) (a_2 - a_1) $
$= (8 \hat{{i}}+8 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}) \cdot(-10 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})$
$= - 80 - 16 - 12 $
$= -108$
उपरोक्त मानों को समी $(iii)$ में रखने पर,
$d = \frac{\left|\left({b}_{1} \times {b}_{2}\right) \cdot\left({a}_{2}-{a}_{1}\right)\right|}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}$
$=\frac{108}{12} $
$= 9$ इकाई
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