ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ $y-$अक्ष पर हैं तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।
Exercise-9.3-8
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ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का समीकरण, जिनकी नाभियाँ $y-$अक्ष पर तथा केंद्र मूलबिंदु पर है, निम्न हैं
$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}= x ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}}{b^{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{y^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{d}{d x}(1) ...(i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{x \frac{d}{d x}\left(y y^{\prime}\right)-y y^{\prime} \frac{d}{d x}(x)}{x^{2}}=0$
${\left[\because \frac{d}{d x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \frac{d}{a x}(u)-u \frac{d}{d x}(v)}{v^{2}}\right]}$
$\Rightarrow \frac{x\left[y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right]-y y^{\prime} \cdot 1}{x^{2}}=0$
$\left[\because \frac{d}{d x}(u \cdot v)=\left(u \frac{d}{d x} v+v \frac{d}{d x} u\right)\right]$
$\Rightarrow x(y′)^2 + xyy'' - yy' = 0 \Rightarrow xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}= x ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}}{b^{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{y^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{d}{d x}(1) ...(i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{x \frac{d}{d x}\left(y y^{\prime}\right)-y y^{\prime} \frac{d}{d x}(x)}{x^{2}}=0$
${\left[\because \frac{d}{d x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \frac{d}{a x}(u)-u \frac{d}{d x}(v)}{v^{2}}\right]}$
$\Rightarrow \frac{x\left[y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right]-y y^{\prime} \cdot 1}{x^{2}}=0$
$\left[\because \frac{d}{d x}(u \cdot v)=\left(u \frac{d}{d x} v+v \frac{d}{d x} u\right)\right]$
$\Rightarrow x(y′)^2 + xyy'' - yy' = 0 \Rightarrow xyy'' + x(y')^2 - yy' = 0$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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