$\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए: $y =\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right), -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Exercise-5.3-10
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$\tan^{-1} x = \theta$ अर्थात् $x=\tan \theta$ रखने पर,
$\therefore y = \tan^{-1} \left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right) (\because \tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta})$
$\Rightarrow y = \tan^{-1}(\tan 3 \theta) = 3 \theta = 3\tan^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{3}{1+x^{2}} [\because \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}}]$
$\therefore y = \tan^{-1} \left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right) (\because \tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta})$
$\Rightarrow y = \tan^{-1}(\tan 3 \theta) = 3 \theta = 3\tan^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{3}{1+x^{2}} [\because \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}}]$
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