यदि A = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{array}\right]$ तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है। तो सिद्ध कीजिए कि I + A = (I - A)$\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$
Exercise-3.2-18
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यहाँ, A = $ \left[\begin{array}{rr} 0 & -t \\ t & 0 \end{array}\right]$, जहाँ t = tan $\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
अब, cos $ \alpha$ = $\frac{1-\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$ = $\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ तथा sin $ \alpha$ = $\frac{2 \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$ = $\frac{2 t}{1+t^{2}}$
दायाँ पक्ष = (I - A) $\left[\begin{array}{rr} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$=$ \left[\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr} 0 & -t \\ +t & 0 \end{array}\right)\right]$ $\left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t}{1+t^{2}} \\ \frac{2 t}{1+t^{2}} & \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$
= $ \left[\begin{array}{rr} 1 & t \\ -t & 1 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t}{1+t^{2}} \\ 2 t & 1-t^{2} \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}+2 t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t+t\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}} \\ -t\left(1-t^{2}\right)+2 t & \frac{2 t^{2}+1-t^{2}}{1-t} \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cc} \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t+t-t^{3}}{1+t^{2}} \\ \frac{-t+t^{3}+2 t}{1+t^{2}} & \frac{2 t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-t\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}} \\ \frac{t\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}} & \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 1 & -t \\ t & 1 \end{array}\right]$
तथा बायाँ पक्ष = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rr}0 & -t \\ t & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr}0+1 & -t+0 \\ t+0 & 0+1\end{array}\right]$ =$ \left[\begin{array}{rr}1 & -t \\ t & 1\end{array}\right]$ = दायाँ पक्ष
t का मान दोनों पक्षों में रखने पर,
$ \left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) & 1 \end{array}\right] $
$\therefore $ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अब, cos $ \alpha$ = $\frac{1-\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$ = $\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ तथा sin $ \alpha$ = $\frac{2 \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$ = $\frac{2 t}{1+t^{2}}$
दायाँ पक्ष = (I - A) $\left[\begin{array}{rr} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$=$ \left[\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr} 0 & -t \\ +t & 0 \end{array}\right)\right]$ $\left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t}{1+t^{2}} \\ \frac{2 t}{1+t^{2}} & \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$
= $ \left[\begin{array}{rr} 1 & t \\ -t & 1 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t}{1+t^{2}} \\ 2 t & 1-t^{2} \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}+2 t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t+t\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}} \\ -t\left(1-t^{2}\right)+2 t & \frac{2 t^{2}+1-t^{2}}{1-t} \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cc} \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t+t-t^{3}}{1+t^{2}} \\ \frac{-t+t^{3}+2 t}{1+t^{2}} & \frac{2 t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-t\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}} \\ \frac{t\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}} & \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 1 & -t \\ t & 1 \end{array}\right]$
तथा बायाँ पक्ष = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rr}0 & -t \\ t & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr}0+1 & -t+0 \\ t+0 & 0+1\end{array}\right]$ =$ \left[\begin{array}{rr}1 & -t \\ t & 1\end{array}\right]$ = दायाँ पक्ष
t का मान दोनों पक्षों में रखने पर,
$ \left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) & 1 \end{array}\right] $
$\therefore $ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
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