यदि दो परस्पर लंब रेखाओं की दिक्$-$कोसाइन $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लंब रेखा की दिक्$-$कोसाइन $m_1n_2 - m_2n_1, n_1l_2 - n_2l_1, l_1m_2 - l_2m_{1}$ हैं।
Miscellaneous Exercise-2
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इकाई सदिश के समांतर दी गई रेखाएँ निम्न हैं
$\vec{b}_{1}=l_{1} \hat{{i}}+m_{1} \hat{{j}}+n_{1} \hat{{k}} ...(i)$
तथा $\vec{b}_{2}=l_{2} \hat{{i}}+m_{2} \hat{{j}}+n_{2} \hat{{k}} ...(ii)$
चूँकि $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2},$ सदिश $\vec{b}_{1}$ तथा $\vec{b}_{2}$ दोनों के लंबवत् होगा। तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ का मापाक इकाई है।
अतः $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ के घटक $\vec{b}_{1}$ तथा $\vec{b}_{2}$ के लंबवत् रेखा की दिक् कोज्याएँ होंगी, अतः
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \end{array}\right|$
$= (m_1n_2 - m_2n_1)\hat{i} - (n_2l_1 - n_1l_2)\hat{j} + (l_1m_2 - l_2m_1)\hat{k}$
$= (m_1n_2 - m_2n_1)\hat{i} - (n_1l_2 - n_2l_1)\hat{j} + (l_1m_2 - l_2m_1)\hat{k}$
अतः अभीष्ट रेखा की दिक् कोज्याएँ निम्न हैं,
$m_1n_2 - m_2n_1, n_1l_2 - n_2l_1, l_1m_2 - l_2m_1$
$\vec{b}_{1}=l_{1} \hat{{i}}+m_{1} \hat{{j}}+n_{1} \hat{{k}} ...(i)$
तथा $\vec{b}_{2}=l_{2} \hat{{i}}+m_{2} \hat{{j}}+n_{2} \hat{{k}} ...(ii)$
चूँकि $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2},$ सदिश $\vec{b}_{1}$ तथा $\vec{b}_{2}$ दोनों के लंबवत् होगा। तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ का मापाक इकाई है।
अतः $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ के घटक $\vec{b}_{1}$ तथा $\vec{b}_{2}$ के लंबवत् रेखा की दिक् कोज्याएँ होंगी, अतः
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \end{array}\right|$
$= (m_1n_2 - m_2n_1)\hat{i} - (n_2l_1 - n_1l_2)\hat{j} + (l_1m_2 - l_2m_1)\hat{k}$
$= (m_1n_2 - m_2n_1)\hat{i} - (n_1l_2 - n_2l_1)\hat{j} + (l_1m_2 - l_2m_1)\hat{k}$
अतः अभीष्ट रेखा की दिक् कोज्याएँ निम्न हैं,
$m_1n_2 - m_2n_1, n_1l_2 - n_2l_1, l_1m_2 - l_2m_1$
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