यदि F(x) = $ \left[\begin{array}{ccc} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $ है तो सिद्ध कीजिए कि F(x) F(y) = F(x + y)
Exercise-3.2-13
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बायाँ पक्ष = F(x) F(y) =$ \left[\begin{array}{ccc} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ \left[\begin{array}{ccc} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} \cos x \cos y-\sin x \sin y & -\sin y \cos x-\sin x \cos y & 0 \\ \sin x \cos y+\cos x \sin y & -\sin x \sin y+\cos x \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$ [$ \because $ cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B, sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A]
= $\left[\begin{array}{ccc} \cos (x+y) & -\sin (x+y) & 0 \\ \sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
अब, F(x) में x को (x + y) के द्वारा प्रतिस्थापित करने पर,
$\therefore$ F(x + y) = $\left[\begin{array}{ccc}\sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
F(x) F(y) = F(x + y) = दायाँ पक्ष
= $\left[\begin{array}{ccc} \cos x \cos y-\sin x \sin y & -\sin y \cos x-\sin x \cos y & 0 \\ \sin x \cos y+\cos x \sin y & -\sin x \sin y+\cos x \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$ [$ \because $ cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B, sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A]
= $\left[\begin{array}{ccc} \cos (x+y) & -\sin (x+y) & 0 \\ \sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
अब, F(x) में x को (x + y) के द्वारा प्रतिस्थापित करने पर,
$\therefore$ F(x + y) = $\left[\begin{array}{ccc}\sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
F(x) F(y) = F(x + y) = दायाँ पक्ष
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अक्तूबर माह की बिक्री (₹ में)
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