यदि परस्पर लंबवत् मात्रक सदिशों $\hat{i}$, $\hat{j}$ और $\hat{k}$, की दक्षिणावर्ती पद्धति के सापेक्ष $\vec{\alpha}$ = $3 \hat{i}-\hat{j}$, $\vec{\beta}$ = $2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$, तो $\vec{\beta}$ को $\vec{\beta}$ = $\vec{\beta}_{1}+\vec{\beta}_{2}$ के रूप में अभिव्यक्त कीजिए जहाँ $\vec{\beta}_{1}, \vec{\alpha}$ के समांतर है और $\vec{\beta}_{2}, \vec{\alpha}$ के लंबवत् है।
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मान लीजिए कि $\vec{\beta}_{1}$ = $\lambda \vec{\alpha}$, $\lambda$ एक अदिश है अर्थात् $\vec{\beta}_{1}$ = $3 \lambda \hat{i}-\lambda \hat{j}$
अब $\vec{\beta}_{2}$ = $\vec{\beta}-\vec{\beta}_{1}$ = $(2-3 \lambda) \hat{i}+(1+\lambda) \hat{j}$ - 3$ \hat{k}$
क्योंकि $\vec{\beta}_{2}$, $\vec{\alpha}$ पर लंब है इसलिए $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}_{2}$ = 0
अर्थात् 3(2 - 3$\lambda$) -(1 + $\lambda$) = 0
अथवा $\lambda$ = $\frac{1}{2}$
इसलिए $\vec{\beta}_{1}$ = $\frac{3}{2} \hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}$ और $\vec{\beta}_{2}$ = $\frac{1}{2} \hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}-3 \hat{k}$
अब $\vec{\beta}_{2}$ = $\vec{\beta}-\vec{\beta}_{1}$ = $(2-3 \lambda) \hat{i}+(1+\lambda) \hat{j}$ - 3$ \hat{k}$
क्योंकि $\vec{\beta}_{2}$, $\vec{\alpha}$ पर लंब है इसलिए $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}_{2}$ = 0
अर्थात् 3(2 - 3$\lambda$) -(1 + $\lambda$) = 0
अथवा $\lambda$ = $\frac{1}{2}$
इसलिए $\vec{\beta}_{1}$ = $\frac{3}{2} \hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}$ और $\vec{\beta}_{2}$ = $\frac{1}{2} \hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}-3 \hat{k}$
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