52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
Exercise-13.5-4(2)
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मान लीजिए X पाँच निकाले गए पत्तों में से हुकुम के पत्तों की संख्या को निरूपित करता है। एक भली-भाँति फेंटी गई 52 पत्तों की गड्डी में 13 हुकुम के पत्तें होते हैं।
p = P(सफलता) = P(एक हुकुम का पत्ता निकालना) = $\frac{13}{52}$$=\frac{1}{4}$
और q = 1 - $\frac{1}{4}$$=\frac{3}{4}$
x एक द्विपद बंटन है जहाँ, n = 5, p = $\frac{1}{4}$तथा q = $\frac{3}{4}$
अतः P(X = r) = ${ }^{n} C, p^{\prime} q^{n-r}$, जहाँ r = 0, 1, 2,...n
P(X = r) = ${ }^{5} \mathrm{C}_{r} $$\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{r}$$\left(\frac{3}{4}\right)^{5-r}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P (केवल 3 पत्ते हुकुम के हों) = P(X = 3)
= $ { }^{5} C_{3} p^{3} q^{2}$ = $\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 !}\left(\frac{1}{4}\right)^{3} $ $\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$ = $\frac{60}{1 \times 2 \times 3} $$\times \frac{3^{2}}{4^{5}}$ = $\frac{90}{1024}$$=\frac{45}{512}$
p = P(सफलता) = P(एक हुकुम का पत्ता निकालना) = $\frac{13}{52}$$=\frac{1}{4}$
और q = 1 - $\frac{1}{4}$$=\frac{3}{4}$
x एक द्विपद बंटन है जहाँ, n = 5, p = $\frac{1}{4}$तथा q = $\frac{3}{4}$
अतः P(X = r) = ${ }^{n} C, p^{\prime} q^{n-r}$, जहाँ r = 0, 1, 2,...n
P(X = r) = ${ }^{5} \mathrm{C}_{r} $$\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{r}$$\left(\frac{3}{4}\right)^{5-r}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P (केवल 3 पत्ते हुकुम के हों) = P(X = 3)
= $ { }^{5} C_{3} p^{3} q^{2}$ = $\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 !}\left(\frac{1}{4}\right)^{3} $ $\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$ = $\frac{60}{1 \times 2 \times 3} $$\times \frac{3^{2}}{4^{5}}$ = $\frac{90}{1024}$$=\frac{45}{512}$
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