$a$ और $b$ के किन मानों के लिए, $q(x) = x^3 + 2x^2 + a$ के शून्यक बहुपद$ p(x) = x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b$ के भी शून्यक होंगे? $p(x)$ के कौन से शून्यक $q(x)$ के शून्यक नहीं हैं?
Exercise-2.4-6
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हम कारक प्रमेय और यूक्लिड विभाजन ल्गोरिथ्म का उपयोग करके $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करेंगे जो $q(x)$ के शून्यक नहीं हैं।
गुणनखंड प्रमेय द्वारा यदि $q(x) p(x)$ का गुणनखंड है, तो $r(x)$ शून्य होना चाहिए।
$p(x) = x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b$
$q(x) = x^3 + 2x^2 + a$
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार शेषफल शून्य होना चाहिए अर्थात $r(x) = 0$
$r(x)$ का मान $- ax^2 - x^2 + 3ax + 3x - 2a + b$ है।
$- ax^2 - x^2 + 3ax + 3x - 2a + b = 0x^2 + 0x + 0$
$\Rightarrow -(a + 1)x^2 + (3a + 3)x + (b - 2a) = 0x^2 + 0x + 0$
$x^2, x$ और स्थिरांक के गुणांकों की तुलना करना। दोनों पक्षों पर, हम प्राप्त करते हैं
$- (a + 1) = 0$ और $3a + 3 = 0$ और $b - 2a = 0$
$a + 1 = 0$
$a = -1$ और $3a + 3 = 0$
$3a = - 3$
$a = -1$
$a = -1, b - 2a = 0$ में रकहने पर
$b - 2(-1) = 0$
$b + 2 = 0$
$b = -2$
$a = -1$ और $b = -2$ के लिए, $q(x)$ के शून्यक $p(x)$ के शून्यक होंगे।
$p(x)$ के शून्यकों के लिए, $p(x) = 0$
$(x^3 + 2x^2 + a) (x^2 - 3x + 2) = 0 [\because a = -1]$
$\Rightarrow[x^3 + 2x^2 - 1][x^2 - 2x - 1x + 2] = 0$
$(x^3 + 2x^2 - 1) [x (x - 2) - 1 (x - 2)] = 0$
$(x^3 + 2x^2 - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$
$(x - 2) = 0$ और $(x - 1) = 0$
$x = 2$ और $x = 1$
हम पाते हैं कि $q(1) = 1 + 2 - 1 = 2 \ne 0$ और $q(2) = 8 + 8 - 1 = 15 \ne 0.$
तो, भागफल $x^2 - 3x + 2$ के शून्य, $q(x)$ के शून्य नहीं हैं, इसलिए, $x = 2$ और $1 q(x)$ के शून्यक नहीं हैं।
गुणनखंड प्रमेय द्वारा यदि $q(x) p(x)$ का गुणनखंड है, तो $r(x)$ शून्य होना चाहिए।
$p(x) = x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b$
$q(x) = x^3 + 2x^2 + a$
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार शेषफल शून्य होना चाहिए अर्थात $r(x) = 0$
$r(x)$ का मान $- ax^2 - x^2 + 3ax + 3x - 2a + b$ है।
$- ax^2 - x^2 + 3ax + 3x - 2a + b = 0x^2 + 0x + 0$
$\Rightarrow -(a + 1)x^2 + (3a + 3)x + (b - 2a) = 0x^2 + 0x + 0$
$x^2, x$ और स्थिरांक के गुणांकों की तुलना करना। दोनों पक्षों पर, हम प्राप्त करते हैं
$- (a + 1) = 0$ और $3a + 3 = 0$ और $b - 2a = 0$
$a + 1 = 0$
$a = -1$ और $3a + 3 = 0$
$3a = - 3$
$a = -1$
$a = -1, b - 2a = 0$ में रकहने पर
$b - 2(-1) = 0$
$b + 2 = 0$
$b = -2$
$a = -1$ और $b = -2$ के लिए, $q(x)$ के शून्यक $p(x)$ के शून्यक होंगे।
$p(x)$ के शून्यकों के लिए, $p(x) = 0$
$(x^3 + 2x^2 + a) (x^2 - 3x + 2) = 0 [\because a = -1]$
$\Rightarrow[x^3 + 2x^2 - 1][x^2 - 2x - 1x + 2] = 0$
$(x^3 + 2x^2 - 1) [x (x - 2) - 1 (x - 2)] = 0$
$(x^3 + 2x^2 - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$
$(x - 2) = 0$ और $(x - 1) = 0$
$x = 2$ और $x = 1$
हम पाते हैं कि $q(1) = 1 + 2 - 1 = 2 \ne 0$ और $q(2) = 8 + 8 - 1 = 15 \ne 0.$
तो, भागफल $x^2 - 3x + 2$ के शून्य, $q(x)$ के शून्य नहीं हैं, इसलिए, $x = 2$ और $1 q(x)$ के शून्यक नहीं हैं।
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