यदि एक त्रिघात बहुपद के दो शून्यकों में से प्रत्येक शून्य है, तो इसके रैखिक और अचर पद नहीं हो सकते।
Exercise-2.2-2(4)
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यदि घन बहुपदों के दो शून्यक शून्य हैं तो इसमें रैखिक और अचर पद नहीं होते हैं। होने देना $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक हों, जहाँ दिया गया हो $\alpha=\beta=0$
स्पष्ट रूप से $a \ne 0$
सभी शून्यकों का गुणनफल $= - ($स्थिर पद$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}$
$0 = -\frac{d}{a}$
$\Rightarrow d = 0 ($कोई स्थिर पद नहीं$)$
$\therefore$ बहुपद है $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx$
एक समय में दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= x$ का गुणांक $\div x^3$ का गुणांक
$\mathrm{a} \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=\frac{c}{a}$
$0+(0) \gamma+(0) \gamma= \frac{c}{a}$
$0 = \frac{c}{a}$
$\Rightarrow c = 0 ($कोई रैखिक शब्द नहीं$)$
$\Rightarrow$ बहुपद है $p(x) = ax^3 + bx^2$
शून्यकों का योग $= - (x^2$ का गुणांक$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$
$0+0+\gamma=-\frac{b}{a}$
$\Rightarrow b = \frac{-\gamma}{a}$ वहां मौजूद है $x^2$ पद $\because b \ne 0)$
$\therefore$ बहुपद $p(x) = \frac{a x^{3}-\gamma x^{2}}{a}$
इसलिए, बहुपद में एक रैखिक और एक स्थिर पद नहीं होता है।
स्पष्ट रूप से $a \ne 0$
सभी शून्यकों का गुणनफल $= - ($स्थिर पद$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}$
$0 = -\frac{d}{a}$
$\Rightarrow d = 0 ($कोई स्थिर पद नहीं$)$
$\therefore$ बहुपद है $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx$
एक समय में दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= x$ का गुणांक $\div x^3$ का गुणांक
$\mathrm{a} \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=\frac{c}{a}$
$0+(0) \gamma+(0) \gamma= \frac{c}{a}$
$0 = \frac{c}{a}$
$\Rightarrow c = 0 ($कोई रैखिक शब्द नहीं$)$
$\Rightarrow$ बहुपद है $p(x) = ax^3 + bx^2$
शून्यकों का योग $= - (x^2$ का गुणांक$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$
$0+0+\gamma=-\frac{b}{a}$
$\Rightarrow b = \frac{-\gamma}{a}$ वहां मौजूद है $x^2$ पद $\because b \ne 0)$
$\therefore$ बहुपद $p(x) = \frac{a x^{3}-\gamma x^{2}}{a}$
इसलिए, बहुपद में एक रैखिक और एक स्थिर पद नहीं होता है।
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