$k$ का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि $x^2 + 2x + k$ बहुपद $2x^4 + x^3 - 14x^2 + 5x + 6$ का एक गुणनखंड हो जाए। इन दोनों बहुपदों के सभी शून्यक भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-2.4-4
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यदि $g(x) = x^2 + 2x + k, f(x) = 2x^4 + x^3 - 14x^2 + 5x + 6$ का एक गुणनखंड है, तो शेषफल शून्य होता है जब $f(x)$ को $g(x)$ से विभाजित किया जाता है।
मान लीजिए भागफल $= Q$ और शेषफल $= R$
आइए अब $f(x)$ को $g(x)$ से भाग दें।
$R = x(7k + 21) + (2k^2 + 8k + 6 ) ...(i)$ और $Q = 2x^2 - 3x - 2(k + 4) ...(ii)$
अब, $R = 0$
$\Rightarrow x (7k + 21) + 2(k^2 + 4k + 3) = 0$
$\Rightarrow 7x (k + 3) + 2 (k + 1)(k + 3) = 0$
$\Rightarrow (k + 3) [7x + 2(k + 1)] = 0$
$\Rightarrow k + 3 = 0$
$\Rightarrow k = -3$
इस प्रकार, बहुपद $f(x)$ को $2x^4 + x^3 - 14x^2 + 5x + 6 = (x^2 + 2x + k) [2x^2 - 3x - 2(k + 4)]$ के रूप में लिखा जा सकता है। $(x^2 + 2x - 3) (2x^2 - 3x - 2)$
$x^2 + 2x - 3$ के शून्यक हैं, $x^2 + 2x - 3 = 0$
$\Rightarrow (x + 3) (x - 1) = 0$
$\Rightarrow x = -3$ या $x = 1$
$(2x^2 - 3x - 2)$ के शून्य हैं,
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
$\Rightarrow 2x^2 - 4x + x - 2 = 0$
$\Rightarrow 2x (x - 2) + 1 (x - 2) = 0$
$\Rightarrow (x - 2)(2x + 1) = 0$
$x = 2$ या $x = -\frac{1}{2}$
इस प्रकार, $f(x)$ के शून्यक हैं: $-3, 1, 2$ और $-\frac{1}{2}$
मान लीजिए भागफल $= Q$ और शेषफल $= R$
आइए अब $f(x)$ को $g(x)$ से भाग दें।
$R = x(7k + 21) + (2k^2 + 8k + 6 ) ...(i)$ और $Q = 2x^2 - 3x - 2(k + 4) ...(ii)$
अब, $R = 0$
$\Rightarrow x (7k + 21) + 2(k^2 + 4k + 3) = 0$
$\Rightarrow 7x (k + 3) + 2 (k + 1)(k + 3) = 0$
$\Rightarrow (k + 3) [7x + 2(k + 1)] = 0$
$\Rightarrow k + 3 = 0$
$\Rightarrow k = -3$
इस प्रकार, बहुपद $f(x)$ को $2x^4 + x^3 - 14x^2 + 5x + 6 = (x^2 + 2x + k) [2x^2 - 3x - 2(k + 4)]$ के रूप में लिखा जा सकता है। $(x^2 + 2x - 3) (2x^2 - 3x - 2)$
$x^2 + 2x - 3$ के शून्यक हैं, $x^2 + 2x - 3 = 0$
$\Rightarrow (x + 3) (x - 1) = 0$
$\Rightarrow x = -3$ या $x = 1$
$(2x^2 - 3x - 2)$ के शून्य हैं,
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
$\Rightarrow 2x^2 - 4x + x - 2 = 0$
$\Rightarrow 2x (x - 2) + 1 (x - 2) = 0$
$\Rightarrow (x - 2)(2x + 1) = 0$
$x = 2$ या $x = -\frac{1}{2}$
इस प्रकार, $f(x)$ के शून्यक हैं: $-3, 1, 2$ और $-\frac{1}{2}$
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