क्या $x^6 + 2x^3 + x - 1$ को $x$ में घात $5$ के एक बहुपद से भाग देने पर भागफल $x^2 - 1$ हो सकता है औचित्य दीजिए।
Exercise-2.2-1(1)
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नहीं, $x^2 - 1$ घात $5$ के एक बहुपद द्वारा $x^6 + 2x^3 + x - 1$ के भाग पर भागफल नहीं हो सकता। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब हम एक घात $6$ बहुपद को घात $5$ बहुपद से विभाजित करते हैं तो हमें भागफल प्राप्त होता है घात $1$ का हो। माना यदि संभव हो तो $(x^2 - 1)$ बहुपद को घात $6$ से विभाजित करता है और प्राप्त भागफल घात $5$ बहुपद $(1)$
अर्थात, $($घात $6$ बहुपद$) = (x^2 - 1) ($घात $5$ बहुपद$) + r(x) (a = bq + r)$
$= ($डिग्री $7$ बहुपद$) + r(x) (x^2$ पद $\times x^5$ पद $= x^7$ पद$) = ($डिग्री $7$ बहुपद$)$
स्पष्ट रूप से, $($घात $6$ बहुपद$) \ne($डिग्री $7$ बहुपद$)$
इसलिए, $(1)$ विरोधाभासी है
$\therefore x^2 - 1$ घात $5$ के $x$ में एक बहुपद द्वारा $x^6 + 2x^3 + x - 1$ के विभाजन पर भागफल नहीं हो सकता
अर्थात, $($घात $6$ बहुपद$) = (x^2 - 1) ($घात $5$ बहुपद$) + r(x) (a = bq + r)$
$= ($डिग्री $7$ बहुपद$) + r(x) (x^2$ पद $\times x^5$ पद $= x^7$ पद$) = ($डिग्री $7$ बहुपद$)$
स्पष्ट रूप से, $($घात $6$ बहुपद$) \ne($डिग्री $7$ बहुपद$)$
इसलिए, $(1)$ विरोधाभासी है
$\therefore x^2 - 1$ घात $5$ के $x$ में एक बहुपद द्वारा $x^6 + 2x^3 + x - 1$ के विभाजन पर भागफल नहीं हो सकता
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