त्रिघात बहुपद $x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$ का एक गुणनखंड $x-\sqrt{5}$ दिया है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
Exercise-2.4-5
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माना दिए गए बहुपद f(x) = $x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$ और g(x) = $(x-\sqrt{5})$
$\because$ g(x) f(x) का एक गुणनखंड है इसलिए f(x) = q(x) $(x-\sqrt{5})$
यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा
लेकिन, f(x) = q(x) g(x)
$\therefore$ f(x) = $\left(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3\right)(x-\sqrt{5})$
$\Rightarrow$ f(x) = $\left[x^{2}-\{(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})\} x\right.$ + $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})][(x-\sqrt{5})]$
= $x[x-(\sqrt{5}+\sqrt{2})]-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ $[x-(5+\sqrt{2})][x-\sqrt{5}]$ f(x) के शून्यकों के लिए, f(x) = 0
$\Rightarrow$ $(x-\sqrt{5}-\sqrt{2})(x-\sqrt{5}+\sqrt{2})(x-\sqrt{5})$ = 0
$\Rightarrow$ $(x-\sqrt{5}-\sqrt{2})$ = 0 या $(x-\sqrt{5}+\sqrt{2})$ = 0 या $(x-\sqrt{5})$ = 0
$\Rightarrow$ x = $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ या x = $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ या x = $\sqrt{5}$
अत: दिए गए बहुपद के शून्यक हैं $(\sqrt{5}+\sqrt{2}),(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ तथा $\sqrt{5}$
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