अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = (x + 1)^3(x - 3)^{3 }$ फलन $f$ वर्धमान या ह्रासमान है।
Exercise-6.2-6(5)
Download our app for free and get started
दिया है, $f(x) = (x + 1)^3(x - 3)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = (x + 1)^{3 }\cdot 3(x - 3)^{2 }+ (x - 3)^3\cdot 3(x + 1)^{2 }\cdot 1$
$= 3(x - 3)^2(x + 1)^2{(x + 1) + (x - 3)}$
$= 3(x - 3)^2(x + 1)^2(2x - 2) = 6(x - 3)^2(x + 1)^2(x - 1)$
अब,$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर, $x = - 1, 1, 3$
जोकि वास्तविक रेखा को चार अलग अंतराल $(-\infty,- 1), (- 1, 1), (1, 3)$ और $(3, \infty)$ में विभाजित करता है।
इसलिए, $(1, 3)$ और $(3, \infty)$ पर $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और $(- \infty,- 1)$ तथा $(- 1, 1)$ पर $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = (x + 1)^{3 }\cdot 3(x - 3)^{2 }+ (x - 3)^3\cdot 3(x + 1)^{2 }\cdot 1$
$= 3(x - 3)^2(x + 1)^2{(x + 1) + (x - 3)}$
$= 3(x - 3)^2(x + 1)^2(2x - 2) = 6(x - 3)^2(x + 1)^2(x - 1)$
अब,$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर, $x = - 1, 1, 3$
जोकि वास्तविक रेखा को चार अलग अंतराल $(-\infty,- 1), (- 1, 1), (1, 3)$ और $(3, \infty)$ में विभाजित करता है।
| अंतराल | $f(x)$ का चिन्ह | $f(x)$ की प्रकृति |
| $- \infty< x < - 1$ | $(-) (-) (-) = - ve$ | निरंतर ह्रासमान |
| $- 1 < x < 1$ | $(+) (+) (-) = - ve$ | निरंतर ह्रासमान |
| $1 < x < 3$ | $(+) (+) (+) = + ve$ | निरंतर ह्रासमान |
| $3 < x < \infty$ | $(+) (+) (+) = + ve $ | निरंतर ह्रासमान |
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1एक $10 m$ त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में $314 m^3/h$ की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:View Solution
- 2अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = - 2x^{3 }- 9x^{2 }- 12x + 1$ फलन $f$ वर्धमान या ह्रासमान है।View Solution
- 3अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = 10 - 6x - 2x^{2 }$ फलन $f$ वर्धमान या ह्यसमान है।View Solution
- 4अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = 2x^{3 }- 3x^{2 }- 36x + 7$ से प्रदत्त फलन $f$View Solution
- वर्धमान
- ह्रासमान
- 5cos 3x में कौन से फलन (0, $\frac{\pi}{2}$) में ह्रासमान है?View Solution
- 6$f(x) = (x - 1)^2 + 3, x [-3,1]$ के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि $r = 4\ cm$ है।View Solution
- 8सिद्ध कीजिए कि $R$ पर $f(x) = e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।View Solution
- 9cos x में कौन से फलन (0, $\frac{\pi}{2}$) में ह्रासमान है?View Solution
- 10अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) x^{2 }+ 2x + 5$ फलन $f$ वर्धमान या ह्रासमान है।View Solution