अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = 2x^{3 }- 3x^{2 }- 36x + 7$ से प्रदत्त फलन $f$
- वर्धमान
- ह्रासमान
Exercise-6.2-5
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दिया है, $f(x) = 2x^{3 }- 3x^{2 }- 36 x + 7$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{d x} (2x^{3 }- 3x^{2 }- 36x + 7) = 2 \times 3x^{2 }- 3 \times 2x - 36 \times 1 + 0$
$= 6x^{2 }- 6x - 36; f^{\prime}(x) = 6(x - 3)(x+ 2)$
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर, $6(x - 3) (x + 2) = 0$
$x = 3$ और $x = - 2$ जोकि वास्तविक रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करता है।
जोकि $(- \infty, -2), (- 2, 3)$ और $(3, \infty)$ है।
इसलिए, दिया गया फलन $f$ अंतराल $(-\infty, - 2)$ में और $(3, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है जबकि फलन $f$ अंतराल $(-2, 3)$ में निरंतर ह्रासमान है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{d x} (2x^{3 }- 3x^{2 }- 36x + 7) = 2 \times 3x^{2 }- 3 \times 2x - 36 \times 1 + 0$
$= 6x^{2 }- 6x - 36; f^{\prime}(x) = 6(x - 3)(x+ 2)$
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर, $6(x - 3) (x + 2) = 0$
$x = 3$ और $x = - 2$ जोकि वास्तविक रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करता है।
जोकि $(- \infty, -2), (- 2, 3)$ और $(3, \infty)$ है।
| अंतराल | $f^{\prime}(x)$ का चिन्ह | $f(x)$ की प्रकृति |
| $(-\infty,- 2)$ | $(-)(-) = +ve$ $(\because x < - 2$अर्थात $x$ के $- 3, -4, -5, ...$ इन मानों के लिए $(x - 3)$ और $(x - 2)$ दोनों ऋणात्मक होंगे। |
निरंतर वर्धमान |
| $(- 2, 3)$ | $(-)(+) = -ve$ $(\because 3 > x > - 2$ अर्थात $x$ के, $1, 2, 0, -1, ...$ इन मानों के लिए $(x - 3)$ ॠणात्मक और $(x + 2)$ धनात्मक होंगे। |
निरंतर वर्धमान |
| $(3, \infty)$ | $(\because x > 3$ अर्थात, $x$ के, $4, 5, 6, ...$ इन मानों के लिए $(x - 3)$ और $(x + 2)$ दोनों धनात्मक होंगे। | निरंतर वर्धमान |
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