अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें प्रदत्त फलन f(x) = sin 3x, x $\in$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में
- वर्धमान है।
- हासमान है।
EXAMPLE-12
Download our app for free and get started
ज्ञात है कि
f(x) = sin 3x
या f$^{\prime}$(x) = 3 cos 3x
इसलिए, f'(x) = 0 से मिलता है cos 3x = 0 जिससे 3x = $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3 \pi}{2}$ (क्योंकि x $ \in$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ $\Rightarrow$ 3x $ \in$ $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$) प्राप्त होता है। इसलिए, x = $ \frac{\pi}{6}$ और $ \frac{\pi}{2}$ है। अब बिंदु x = $\frac{\pi}{6}$, अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$को दो असंयुक्त अंतरालों $ \left[0, \frac{\pi}{6}\right)$और $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ में विभाजित करता है।
पुनः सभी x $ \in$ $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ के लिए f$^{\prime}$(x) > 0 क्योंकि 0 $\leq$ x < $\frac{\pi}{6}$ $ \Rightarrow$ 0 $\leq$ 3 x <$ \frac{\pi}{2}$ और सभी x $ \in$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए f$^{\prime}$(x) < 0 क्योंकि $\frac{\pi}{6}$ < x $\leq$ $\frac{\pi}{2}$ $ \Rightarrow$ $ \frac{\pi}{2}$ < 3x $\leq $ $ \frac{3 \pi}{2}$
इसलिए, अंतराल $ \left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ में f वर्धमान है और अंतराल $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ में हासमान है। इसके अतिरिक्त दिया गया फलन x = 0 तथा x = $\frac{\pi}{6}$ पर संतत भी है। इसलिए प्रमेय 1 के द्वारा, f, $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$ में वर्धमान और $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ में ह्गसमान है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1किसी उत्पाद् की $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपये में $R(x) = 3x^2+ 36x + 5$ से प्रदत्त है। जब $x = 5$ हो तो सीमांत आय ज्ञात कीजिए। जहाँ सीमांत आय $($marginal revenue or $MR)$ से हमारा अभिप्राय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष संपूर्ण आय के परिवर्तन की दर से है।View Solution
- 2परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3वक्र $x^{2 }= 4y$ के किसी बिंदु पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1, 2)$ से होकर जाता है।View Solution
- 4View Solutionएक गोले की त्रिज्या 9 cm मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
- 5उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन f(x) = $ \frac{3}{10} x^{4}$ - $\frac{4}{5} x^{3}$ - $3 x^{2}$ + $\frac{36}{5} x$ + 11View Solution
- वर्धमान
- ह्यसमान है।
- 6$g(x) = x^{3 }- 3x$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त फलन f(x) = cos x (0, $\pi$) में ह्यसमान है।View Solution
- 8$g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, x > 0$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त फलन f(x) = cos x ($\pi$, 2 $\pi$), में वर्धमान है।View Solution
- 10सिद्ध कीजिए कि वक्र $x = a \cos \theta + a\theta \sin \theta, y = a \sin \theta - a\theta \cos \theta$ के किसी बिंदु $\theta$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।View Solution