सिद्ध कीजिए कि वक्र $x = a \cos \theta + a\theta \sin \theta, y = a \sin \theta - a\theta \cos \theta$ के किसी बिंदु $\theta$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।
Miscellaneous Exercise-5
Download our app for free and get started
दिया गया वक्र है,
$x = a \cos \theta + a \theta \sin \theta$
$y = a \sin \theta - a \theta \cos \theta$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d x}{d \theta} = - a \sin \theta + a(\theta \cos\theta + \sin\theta) = - a \sin \theta + a \theta \cos \theta + a \sin \theta$
$\frac{d x}{d \theta} = \theta \cos \theta$
और$ \frac{d y}{d \theta}=a \cos \theta-a[\theta(-\sin \theta)+\cos \theta] = a \cos \theta + a \theta \sin \theta - a \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a\theta \sin \theta$
बिंदु $\theta$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d \theta} \times \frac{d \theta}{d x} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$
बिंदु $\theta$ पर अभिलंब की प्रवणता $= - \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$
$\Rightarrow - \frac{1}{\tan \theta} = - \cot \theta$
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण
$y - (a \sin \theta - a \theta \cos \theta) = - \cot \theta[x - (a \cos \theta + a \theta \sin \theta)]$
$\Rightarrow y - (a \sin\theta - a \theta \cos \theta = - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} [x - (a \cos \theta + a \theta \sin\theta)]$
$\Rightarrow y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = - x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin\theta$
$\cdot \cos \theta$
$\Rightarrow x \cos \theta + y \sin \theta = a \left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right) (\because \sin ^2+ \cos ^2\theta = 1)$
$\Rightarrow x \cos \theta + y \sin \theta = a$
$\Rightarrow x \cos \theta + v \sin \theta - a = 0$
अब, मूलबिंदु से अभिलंब की दूरी $= \frac{|-a|}{\sqrt{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}}$
$\Rightarrow = \frac{|-a|}{\sqrt{1}}=|-a| (\because \cos^2\theta + \sin^{2 }\theta = 1)$
जोकि $\theta$ से स्वतंत्र है। अतः मूलबिंदु से अभिलंब अचर दूरी पर है।
$x = a \cos \theta + a \theta \sin \theta$
$y = a \sin \theta - a \theta \cos \theta$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d x}{d \theta} = - a \sin \theta + a(\theta \cos\theta + \sin\theta) = - a \sin \theta + a \theta \cos \theta + a \sin \theta$
$\frac{d x}{d \theta} = \theta \cos \theta$
और$ \frac{d y}{d \theta}=a \cos \theta-a[\theta(-\sin \theta)+\cos \theta] = a \cos \theta + a \theta \sin \theta - a \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a\theta \sin \theta$
बिंदु $\theta$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d \theta} \times \frac{d \theta}{d x} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$
बिंदु $\theta$ पर अभिलंब की प्रवणता $= - \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$
$\Rightarrow - \frac{1}{\tan \theta} = - \cot \theta$
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण
$y - (a \sin \theta - a \theta \cos \theta) = - \cot \theta[x - (a \cos \theta + a \theta \sin \theta)]$
$\Rightarrow y - (a \sin\theta - a \theta \cos \theta = - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} [x - (a \cos \theta + a \theta \sin\theta)]$
$\Rightarrow y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = - x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin\theta$
$\cdot \cos \theta$
$\Rightarrow x \cos \theta + y \sin \theta = a \left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right) (\because \sin ^2+ \cos ^2\theta = 1)$
$\Rightarrow x \cos \theta + y \sin \theta = a$
$\Rightarrow x \cos \theta + v \sin \theta - a = 0$
अब, मूलबिंदु से अभिलंब की दूरी $= \frac{|-a|}{\sqrt{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}}$
$\Rightarrow = \frac{|-a|}{\sqrt{1}}=|-a| (\because \cos^2\theta + \sin^{2 }\theta = 1)$
जोकि $\theta$ से स्वतंत्र है। अतः मूलबिंदु से अभिलंब अचर दूरी पर है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $15$ है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम हो।View Solution
- 2प्रवणता $- 1$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y = \frac{1}{x-1}, x \neq - 1$ को स्पर्श करती है।View Solution
- 3$x m$ भुजा वाले घन की भुजा में $1\%$ वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4वक्र $x^{2 }+ y^{2 }- 2x - 3 = 0$ के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे $x-$अक्ष के समांतर हैं।View Solution
- 5$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6$g(x) = x^{3 }- 3x$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y = x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?View Solution
- 8एक $5 m$ लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर $2 \ cm/ s$ की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से $4 m$ दूर है?View Solution
- 9वक्र $y = 4x^{3 }- 2x^5,$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं।View Solution
- 10View Solutionएक गोले की त्रिज्या 9 cm मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।