वक्र $x^{2 }= 4y$ के किसी बिंदु पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1, 2)$ से होकर जाता है।
EXAMPLE-45
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$x^{2 }= 4y$ का, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2}$
मान लीजिए वक्र $x^{2 }= 4y$ के अभिलंब के संपर्क बिंदु के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
अब $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\left.\frac{d y}{d x}\right]_{(h, k)} = \frac{h}{2}$
$\Rightarrow (h, k)$ पर अभिलंब की प्रवणता $= \frac{-2}{h}$ है।
इसलिए $(h, k)$ पर अभिलंब का समीकरण है
$y - k = \frac{-2}{h}(x-h) ...(1)$
परंतु यह बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है। हम पाते हैं कि
$2 - k = \frac{-2}{h}(1 - h)$ या $k = 2 + \frac{2}{h}(1 - h) ...(2)$
क्योंकि $(h, k)$ वक्र $x^2 =4y $पर स्थित है। इसलिए
$h^{2 }= 4k ...(3)$
अब $(2)$ व $(3),$ से $h = 2$ और $k = 1$ प्राप्त होता है। $h$ और $k$ के इन मानों को $(1)$ में रखने पर अभिलंब का अभीष्ट समीकरण निम्नलिखित प्राप्त होता है।
$y - 1 = \frac{-2}{2} (x - 2)$ या $x + y = 3$
$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2}$
मान लीजिए वक्र $x^{2 }= 4y$ के अभिलंब के संपर्क बिंदु के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
अब $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\left.\frac{d y}{d x}\right]_{(h, k)} = \frac{h}{2}$
$\Rightarrow (h, k)$ पर अभिलंब की प्रवणता $= \frac{-2}{h}$ है।
इसलिए $(h, k)$ पर अभिलंब का समीकरण है
$y - k = \frac{-2}{h}(x-h) ...(1)$
परंतु यह बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है। हम पाते हैं कि
$2 - k = \frac{-2}{h}(1 - h)$ या $k = 2 + \frac{2}{h}(1 - h) ...(2)$
क्योंकि $(h, k)$ वक्र $x^2 =4y $पर स्थित है। इसलिए
$h^{2 }= 4k ...(3)$
अब $(2)$ व $(3),$ से $h = 2$ और $k = 1$ प्राप्त होता है। $h$ और $k$ के इन मानों को $(1)$ में रखने पर अभिलंब का अभीष्ट समीकरण निम्नलिखित प्राप्त होता है।
$y - 1 = \frac{-2}{2} (x - 2)$ या $x + y = 3$
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