उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन f(x) = $ \frac{3}{10} x^{4}$ - $\frac{4}{5} x^{3}$ - $3 x^{2}$ + $\frac{36}{5} x$ + 11
- वर्धमान
- ह्यसमान है।
EXAMPLE-47
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हमें ज्ञात है कि
f(x) = $ \frac{3}{10} x^{4}$ - $\frac{4}{5} x^{3}$ - $3 x^{2}$ +$\frac{36}{5} x$ + 11
या f$^{\prime}$(x) = $ \frac{3}{10}\left(4 x^{3}\right)$ - $\frac{4}{5}\left(3 x^{2}\right)$ - $3(2 x)+\frac{36}{5}$
= $ \frac{6}{5}$ (x - 1)(x + 2)(x - 3) (सरल करने पर)
अब f$^{\prime}$(x) = 0 से x = 1, x = - 2, और x = 3 प्राप्त होते हैं। x = 1, -2, और 3 वास्तविक रेखा को चार असंयुक्त अंतरालों नामतः ($-\infty$,- 2), (- 2, 1), (1, 3) और (3, $-\infty$) में विभक्त करता है।
अंतराल ($-\infty$, - 2) को लीजिए अर्थात् जब $-\infty$ < x < - 2 है।
इस स्थिति में हम x - 1 < 0, x + 2 < 0 और x - 3 < 0 प्राप्त करते हैं।
विशेष रूप से x = - 3 के लिए देखिए कि, f$^{\prime}$(x) = (x - 1) (x + 2) (x - 3)= (- 4)(- 1)(- 6) < 0) इसलिए, जब $-\infty$ < x < - 2 है, तब f$^{\prime}$(x) < 0 है। अत: ($-\infty$, - 2) में फलन F ह्यसमान है।
अंतराल (- 2, 1), को लीजिए अर्थात् जब - 2 < x < 1 है।
इस दशा में x - 1 < 0, x + 2 > 0 और x - 3 < 0 है।
विशेष रूप से x = 0, के लिए ध्यान दीजिए कि, f$^{\prime}$(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (- 1)
(2) (- 3) = 6 > 0)
इसलिए जब - 2 < x < 1 है, तब f$^{\prime}$(x) > 0 है।
अतः (-2,1) में फलन f वर्धमान है।
अब अंतराल (1,3) को लीजिए अर्थात् जब 1 < x < 3 है। इस दशा में कि x - 1 > 0, x + 2 > 0 और x - 3 < 0 है।
इसलिए, जब 1 < x < 3 है, तब f$^{\prime}$(x) < 0 है।
अतः (1,3) में फलन f ह्रासमान है। अंत में अंतराल (3, $\infty$), को लीजिए अर्थात् जब 3 < x < $\infty$ है। इस दशा में x - 1 > 0, x + 2 > 0 और x - 3 > 0 है। इसलिए जब x > 3 है तो f$^{\prime}$(x) > 0 है।
अतः अंतराल (3, $\infty$) में फलन f वर्धमान है।
f(x) = $ \frac{3}{10} x^{4}$ - $\frac{4}{5} x^{3}$ - $3 x^{2}$ +$\frac{36}{5} x$ + 11
या f$^{\prime}$(x) = $ \frac{3}{10}\left(4 x^{3}\right)$ - $\frac{4}{5}\left(3 x^{2}\right)$ - $3(2 x)+\frac{36}{5}$
= $ \frac{6}{5}$ (x - 1)(x + 2)(x - 3) (सरल करने पर)
अब f$^{\prime}$(x) = 0 से x = 1, x = - 2, और x = 3 प्राप्त होते हैं। x = 1, -2, और 3 वास्तविक रेखा को चार असंयुक्त अंतरालों नामतः ($-\infty$,- 2), (- 2, 1), (1, 3) और (3, $-\infty$) में विभक्त करता है।
अंतराल ($-\infty$, - 2) को लीजिए अर्थात् जब $-\infty$ < x < - 2 है।
इस स्थिति में हम x - 1 < 0, x + 2 < 0 और x - 3 < 0 प्राप्त करते हैं।
विशेष रूप से x = - 3 के लिए देखिए कि, f$^{\prime}$(x) = (x - 1) (x + 2) (x - 3)= (- 4)(- 1)(- 6) < 0) इसलिए, जब $-\infty$ < x < - 2 है, तब f$^{\prime}$(x) < 0 है। अत: ($-\infty$, - 2) में फलन F ह्यसमान है।
अंतराल (- 2, 1), को लीजिए अर्थात् जब - 2 < x < 1 है।
इस दशा में x - 1 < 0, x + 2 > 0 और x - 3 < 0 है।
विशेष रूप से x = 0, के लिए ध्यान दीजिए कि, f$^{\prime}$(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (- 1)
(2) (- 3) = 6 > 0)
इसलिए जब - 2 < x < 1 है, तब f$^{\prime}$(x) > 0 है।
अतः (-2,1) में फलन f वर्धमान है।
अब अंतराल (1,3) को लीजिए अर्थात् जब 1 < x < 3 है। इस दशा में कि x - 1 > 0, x + 2 > 0 और x - 3 < 0 है।
इसलिए, जब 1 < x < 3 है, तब f$^{\prime}$(x) < 0 है।
अतः (1,3) में फलन f ह्रासमान है। अंत में अंतराल (3, $\infty$), को लीजिए अर्थात् जब 3 < x < $\infty$ है। इस दशा में x - 1 > 0, x + 2 > 0 और x - 3 > 0 है। इसलिए जब x > 3 है तो f$^{\prime}$(x) > 0 है।
अतः अंतराल (3, $\infty$) में फलन f वर्धमान है।
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