$g(x) = x^{3 }- 3x$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(2)
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दिया गया फलन $g(x) = x^{3 }- 3x$
$\therefore g^{\prime}(x) = 3x^{2 }- 3$ और $g^{\prime \prime}(x) = 6x$
न्यूनतम और उच्चतम के लिए $g^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\therefore 3x^{2 }- 3 = 0 \Rightarrow x^{2 }= 1 \Rightarrow x = \pm 1$
$x = - 1$ पर, $g^{\prime \prime} (- 1) = 6(- 1) = - 6 < 0$
अतः $x = - 1$ पर g का स्थानीय उच्चतम मान है तथा $x = - 1$ पर $g$ का स्थानीय उच्चतम मान $g(- 1) = (- 1)^3 - 3(- 1) = - 1 + 3 = 2$
$x = 1$ पर, $g^{\prime \prime}(1) = 6 \times 1 = 6 > 0$
$\therefore x = 1$ पर का स्थानीय न्यूनतम है और स्थानीय न्यूनतम मान $= g(1)$
$= 1^3 - 3 \times 1 = 1 - 3 = - 2$
$\therefore g^{\prime}(x) = 3x^{2 }- 3$ और $g^{\prime \prime}(x) = 6x$
न्यूनतम और उच्चतम के लिए $g^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\therefore 3x^{2 }- 3 = 0 \Rightarrow x^{2 }= 1 \Rightarrow x = \pm 1$
$x = - 1$ पर, $g^{\prime \prime} (- 1) = 6(- 1) = - 6 < 0$
अतः $x = - 1$ पर g का स्थानीय उच्चतम मान है तथा $x = - 1$ पर $g$ का स्थानीय उच्चतम मान $g(- 1) = (- 1)^3 - 3(- 1) = - 1 + 3 = 2$
$x = 1$ पर, $g^{\prime \prime}(1) = 6 \times 1 = 6 > 0$
$\therefore x = 1$ पर का स्थानीय न्यूनतम है और स्थानीय न्यूनतम मान $= g(1)$
$= 1^3 - 3 \times 1 = 1 - 3 = - 2$
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