परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.3-22
Download our app for free and get started
दिए गए परवलय का समीकरण है,
$y^{2 }= 4ax ...(i)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{d y}{d x} = 4a$
$ \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2 a}{y}$
$\therefore$ बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a t^{2}, 2 a t\right)} = \frac{2 a}{2 a t} = \frac{1}{t}$
अतः बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण,
$y - 2at = \frac{1}{t} (x - at^2)$
$\Rightarrow yt - 2at^2 = x - at^2$.
$\Rightarrow x - ty + at^2 = 0$
और $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब की प्रवणता,
$\therefore (at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण,
$y - 2at = - t(x - at^2)$
$tx + y - 2at - at^3 = 0$
$y^{2 }= 4ax ...(i)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{d y}{d x} = 4a$
$ \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2 a}{y}$
$\therefore$ बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a t^{2}, 2 a t\right)} = \frac{2 a}{2 a t} = \frac{1}{t}$
अतः बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण,
$y - 2at = \frac{1}{t} (x - at^2)$
$\Rightarrow yt - 2at^2 = x - at^2$.
$\Rightarrow x - ty + at^2 = 0$
और $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब की प्रवणता,
$\therefore (at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण,
$y - 2at = - t(x - at^2)$
$tx + y - 2at - at^3 = 0$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y = [x(x - 2)]^{2 }$ एक वर्धमान फलन है।View Solution
- 2उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन f(x) = $ \frac{3}{10} x^{4}$ - $\frac{4}{5} x^{3}$ - $3 x^{2}$ + $\frac{36}{5} x$ + 11View Solution
- वर्धमान
- ह्यसमान है।
- 3ऐसी दो धन संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए ताकि $x + y = 60$ और $xy^3$ उच्चतम हो।View Solution
- 4वक्र y = $\frac{x-7}{(x-2)(x-3)}$ के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ ज्ञात कीजिए जहाँ यह x-अक्ष को काटती है।View Solution
- 5$f(x) = x^2, x \in R$ से प्रदत्त फलन $f$ के उच्चतम और निम्नतम मान, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $16$ हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।View Solution
- 7$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदु ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8एक गोले की त्रिज्या $7 m$ मापी जाती है जिसमें $0.02 m$ की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10किसी वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन में कुल लागत $C(x)$ रुपये में $C(x) = 0.005 x^3 - 0.02 x^2+ 30x + 5000$ से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जब $3$ इकाई उत्पादित की जाती है। जहाँ सीमांत लागत $($marginal cost या $MC)$ से हमारा अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादन के संपूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर से है।View Solution