$g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, x > 0$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(6)
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दिया गया फलन $g(x) = \frac{x}{2}+\frac{2}{x}, x > 0$
$\Rightarrow g^{\prime}(x) = \frac{1}{2} + 2 \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}}$
और $g^{\prime \prime}(x) = - 2(- 2) x^{-3} = \frac{4}{x^{3}}$
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए, $g'(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2 \Rightarrow x = 2 [\because x > 0$ दिया है$]$
$x = 2$ पर, $g^{\prime \prime}(2) = \frac{4}{2^{3}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$
$\therefore x = 2$ न्यूनतम का बिंदु है।
न्यूनतम मान, $g(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$
$\Rightarrow g^{\prime}(x) = \frac{1}{2} + 2 \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}}$
और $g^{\prime \prime}(x) = - 2(- 2) x^{-3} = \frac{4}{x^{3}}$
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए, $g'(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2 \Rightarrow x = 2 [\because x > 0$ दिया है$]$
$x = 2$ पर, $g^{\prime \prime}(2) = \frac{4}{2^{3}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$
$\therefore x = 2$ न्यूनतम का बिंदु है।
न्यूनतम मान, $g(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$
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