अवकल समीकरण $(1 + e^{2x})dy + (1 + y^2)e^xdx = 0$ का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 1$ यदि $x = 0.$
Miscellaneous Exercise-9
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दिया गया अवकल समीकरण $(1 + e^{2x})dy + (1 + y^2)e^xdx = 0$
चरों के पृथक्करण से, $\frac{d y}{1+y^{2}}+\frac{e^{x} d x}{1+e^{2 x}}=0$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d y}{1+y^{2}}+\int \frac{e^{x} d x}{1+e^{2 x}}=C$
मान लीजिए $t = e^x$
$\Rightarrow e^xdx = dt$
$\Rightarrow \tan^{-1}y + \int \frac{d t}{1+t^{2}} = C$
$\Rightarrow \tan^{-1}y + \tan^{-1}t = C$
$\Rightarrow \tan^{-1}y + \tan^{-1}e^x = C ...(i)$
अब$, x = 0$ तथा $y = 1$ रखने पर,
$\therefore \tan^{-1}1 + \tan^{-1}e^0 = C$
$\Rightarrow \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=C$
$\Rightarrow C=\frac{\pi}{2}$
$C$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर$, \tan^{-1}y + \tan^{-1}e^x = \frac{\pi}{2}$
जो अभीष्ट विशिष्ट हल है।
चरों के पृथक्करण से, $\frac{d y}{1+y^{2}}+\frac{e^{x} d x}{1+e^{2 x}}=0$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d y}{1+y^{2}}+\int \frac{e^{x} d x}{1+e^{2 x}}=C$
मान लीजिए $t = e^x$
$\Rightarrow e^xdx = dt$
$\Rightarrow \tan^{-1}y + \int \frac{d t}{1+t^{2}} = C$
$\Rightarrow \tan^{-1}y + \tan^{-1}t = C$
$\Rightarrow \tan^{-1}y + \tan^{-1}e^x = C ...(i)$
अब$, x = 0$ तथा $y = 1$ रखने पर,
$\therefore \tan^{-1}1 + \tan^{-1}e^0 = C$
$\Rightarrow \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=C$
$\Rightarrow C=\frac{\pi}{2}$
$C$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर$, \tan^{-1}y + \tan^{-1}e^x = \frac{\pi}{2}$
जो अभीष्ट विशिष्ट हल है।
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