अवकल समीकरण $xy \frac{d y}{d x} = (x + 2)(y + 2)$ के लिए बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.4-16
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दी गई अवकल समीकरण $, xy\frac{d y}{d x} = (x + 2)(y + 2) ...(i)$
चरों का पृथक्करण करने पर,$ \frac{y}{y+2} d y=\frac{x+2}{x} d x$
समाकलन करने पर $, \int \frac{y}{y+2} d y=\int \frac{x+2}{x} d x \Rightarrow \int\left(\frac{y+2-2}{y+2}\right) d y=\int \frac{x+2}{x} d x$
$\Rightarrow \int \frac{y+2}{y+2} d y-\int \frac{2}{y+2} d y =\int \frac{x}{x} d x+\int \frac{2}{x} d x$
$\Rightarrow \int d y-2 \int \frac{1}{y+2} d y =\int d x+2 \int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow y - 2 \log |y + 2| = x + 2 \log |x| + C ...(ii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(1, -1)$ से होकर जाता है, अतः $x = 1$ और $y = -1 $ रखने पर,
$-1 - 2 \log |-1 + 2| = 1 + 2 \log 1 + C$
$\Rightarrow -1 - 2 \log 1 = 1 + 2 \log 1 + C \Rightarrow C = - 2 (\because \log 1 = 0)$
अतः समी $(ii)$ से,
$y - 2 \log |y + 2| = x + 2 \log |x| - 2$
$\Rightarrow y - x + 2 = 2 \log |x(y + 2)| (\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow y - x + 2 = \log[x^2(y + 2)^2] (\because \log m^n = n \log m)$
जोकि अभीष्ट की समीकरण वक्र है।
चरों का पृथक्करण करने पर,$ \frac{y}{y+2} d y=\frac{x+2}{x} d x$
समाकलन करने पर $, \int \frac{y}{y+2} d y=\int \frac{x+2}{x} d x \Rightarrow \int\left(\frac{y+2-2}{y+2}\right) d y=\int \frac{x+2}{x} d x$
$\Rightarrow \int \frac{y+2}{y+2} d y-\int \frac{2}{y+2} d y =\int \frac{x}{x} d x+\int \frac{2}{x} d x$
$\Rightarrow \int d y-2 \int \frac{1}{y+2} d y =\int d x+2 \int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow y - 2 \log |y + 2| = x + 2 \log |x| + C ...(ii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(1, -1)$ से होकर जाता है, अतः $x = 1$ और $y = -1 $ रखने पर,
$-1 - 2 \log |-1 + 2| = 1 + 2 \log 1 + C$
$\Rightarrow -1 - 2 \log 1 = 1 + 2 \log 1 + C \Rightarrow C = - 2 (\because \log 1 = 0)$
अतः समी $(ii)$ से,
$y - 2 \log |y + 2| = x + 2 \log |x| - 2$
$\Rightarrow y - x + 2 = 2 \log |x(y + 2)| (\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow y - x + 2 = \log[x^2(y + 2)^2] (\because \log m^n = n \log m)$
जोकि अभीष्ट की समीकरण वक्र है।
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