ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ $x-$अक्ष पर हैं तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।
Exercise-9.3-9
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ऐसे अतिपरलवयों के कुल का समीकरण, जिनकी नाभियाँ $x-$अक्ष पर तथा जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है, निम्न है
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{2 x}{a^{2}}-\frac{2 y y^\ {\prime}}{b^{2}}=0 \Rightarrow \frac{y y^\ {\prime}}{x}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{x \frac{d}{d x}\left(y y^\ {\prime}\right)-y y^\ {\prime} \cdot \frac{d}{d x}(x)}{x^{2}}=0 ($अवकलन के भागफल नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{x\left[y y^\ {\prime \prime}+\left(y^\ {\prime}\right)^{2}\right]-y y^\ {\prime} \cdot 1}{x^{2}}=0 ($अवकलन के गुणनफल नियम से$)$
$\Rightarrow x(y\ ')^2 + xyy\ '' - yy\ ' = 0 \Rightarrow xyy\ '' + x(y')^2 - yy\ ' = 0$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{2 x}{a^{2}}-\frac{2 y y^\ {\prime}}{b^{2}}=0 \Rightarrow \frac{y y^\ {\prime}}{x}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{x \frac{d}{d x}\left(y y^\ {\prime}\right)-y y^\ {\prime} \cdot \frac{d}{d x}(x)}{x^{2}}=0 ($अवकलन के भागफल नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{x\left[y y^\ {\prime \prime}+\left(y^\ {\prime}\right)^{2}\right]-y y^\ {\prime} \cdot 1}{x^{2}}=0 ($अवकलन के गुणनफल नियम से$)$
$\Rightarrow x(y\ ')^2 + xyy\ '' - yy\ ' = 0 \Rightarrow xyy\ '' + x(y')^2 - yy\ ' = 0$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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